18.Корреляция

Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большую роль в теории сигналов. В настоящее время корреляция является наиболее широко распространенным методом обработки различных сигналов и данных (оптических и других). При всех своих различных проявлениях корреляция, по существу, является методом оценки взаимных связей, имеющих форму подобий или совпадений. Таким образом, процесс корреляции сводится к сравнению (сопоставлению) двух картин или процессов.

Сопоставление картин, сигналов или процессов можно произвести используя понятие корреляционной функции. Корреляционная функция (англ. – correlation function) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигналов, сдвинутых друг относительно друга на время τ:

Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией – чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее. Поскольку здесь функция s(t) сравнивается сама с собой, ее называют автокорреляционной функцией.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. Значение корреляционной функции при τ = 0 равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квадрата:

.

2. Корреляционная функция является четной функцией аргумента τ:

3. При τ = 0 корреляционная функция принимает максимальное значение:

4. С ростом абсолютного значения τ корреляционная функция сигнала с конечной энергией затухает:

Поясним физический смысл автокорреляционной функции на примере сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса.

Рис. 3.3. Физическая интерпретация автокорреляционной функции

Периодический сигнал

В случае периодического сигнала использовать приведенное выше определение корреляционной функции нельзя.

Корреляционную функцию периодического сигнала с периодом T вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода:

Некоторые свойства, введенной таким способом корреляционной функции, изменяются.

1. Значение при τ = 0 равно не энергии, а средней мощности анализируемого сигнала:

2. Свойство четности функции сохраняется:

3. При τ = 0 корреляционная функция периодического процесса также принимает максимальное значение:

4. Корреляционная функция периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом, что и сигнал:

5. Размерность корреляционной функции периодического сигнала – квадрат размерности сигнала.

Если сдвиг τ кратен периоду функции, то получаем максимум «сходства» между сдвинутыми друг относительно друга функциями. Это свойство корреляционной функции случайного процесса позволяет выявлять периодичность функции, которую бывает затруднительно обнаружить при обычном исследовании.

Взаимная корреляционная функция Взаимно корреляционная функция показывает степень сходства для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов. Эту функцию называют также кросс-корреляционной функцией. Общий вид формулы для нахождения взаимно корреляционной функции сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время τ.

Свойства взаимно корреляционной функции несколько отличаются от свойств корреляционной функции:

1. где E1 и E2 − энергии сигналов s1(t)и s2 (t).

2. то есть изменение знака τ равносильно взаимной перестановке сигналов.

3. Значение взаимно корреляционной функции при τ = 0 ничем не выделяется, так как максимум функции может быть расположен в любом месте оси τ.

Иногда бывает удобно нормировать корреляционные функции. Нормировка достигается делением выражений на центральное значение корреляции, т.е. на значение для τ = 0 (нулевой сдвиг). Это дает для автокорреляционной функции

Аналогичное выражение получается для кросс-корреляционной функции

где * означает комплексное сопряжение, т.к. в общем случае функции s1(t) и s2(t) могут быть комплексными.

Теорема автокорреляции (теорема Винера-Хинчина) Эта теорема утверждает, что преобразование Фурье автокорреляции функции s(t) равно квадрату модуля ее преобразования Фурье.

В общем случае если преобразование комплексной функции есть F(ω), то согласно этой теореме преобразование F(ω)2 является комплексной автокорреляцией от s(t).

Используя Т для обозначения преобразования Фурье, мы имеем

Таким образом, если мы знаем автокорреляционную функцию, то ее Фурье- преобразование даст нам интенсивность Фурье-спектра.