§ 7.15. Модулированные колебания.

При передаче информации широко применяют модулированные колебания. Модулированным колебанием f(t)=Asin(t+); называют колебание, в котором амплитудаА,ча­стота, фазаили и те и другие вместе изменяются во времени.

Колебание, в котором изменяется только амплитуда А,а угловая частотаи фазанеизменны, называют коле­банием, модулированным по амплитуде.

Рис. 7.14

Колебание с изменяющейся угловой частотой , но неизменными амплиту­дой А и фазойназывают колебанием,

Колебание, в котором изменяется только фаза , а амплитуда А и угловая частотанеизменны, называют колебанием, модулирован­ным по фазе.

Простейшим амплитудно-модулированным (AM) является колеба­ние, в котором амплитуда модулирована по закону синуса:

f(t)=A₀(1+msint)sin(t+),

где т—глубина модуляции; как правило, m<1;-частота моду­ляции .

График AMколебания показан на рис. 7.14, а (огибающая дана пунктиром).

Если воспользоваться известным из тригонометрии тождеством

sinsin=cos(-)-cos(+)

то колебание A₀(1+msint) можно представить в виде суммы трех колебаний:

f(t)= A₀sin(t+)+cos((-)t+)-cos((+)t+)

Частоту называют несущей, а частоты (-) и (+) — боко­выми. СпектрAM-колебания изображен на рис. 7.14,6.

Пример74. Разложить на составляющие функцию

f(t)=20(1+0,6sin10³t)sin10⁵t

Решение.

-=9910³;+=10110³; =6

Следовательно,

f(t)=20sin10⁵t+6cos(9910³t)-6cos(10110³t).

Амплитуды колебаний боковых частот при АМ-колебании зависят от глубины модуляции т,но не зависят от частоты модуляции.

Ширина полосы частот, занимаемой АМ-колебанием, не зави­сит от ти равна,(+) – (-)=2

Рассмотрим спектры частотно модулированных (ЧМ) и фазо-моду лированных (ФМ) колебании Форма колебаний качественно показана на рис 7 14, в

Аргумент синусоидально изменяющейся функции / (t)обозначимa(f),тогда

f(t)=Asin((t)). (a)

(t) можно интерпретировать как угол, на который повернется вращающийся вектор на комплексной плоскости за время t. Угловая частота поворота этого вектора=.В том случае, когдапостоянна и равна₀,

(t)==₀tиf(t)=Asin₀t

При частотной модуляции частота изменяется и равна₀+(t)

При этом

(t)==₀t+.

При (t)=cost

(t)=₀t+sint.(6)

где =—глубина модуляции.

Таким образом,

=sin(₀t+sint)=sin₀tcos(sint)+cos₀tsin(sint)

но

sin(sint)=2

cos(sint)=J₀()+

где Jk()—бесселева функцияk-порядка от действительного аргумента.

Графики трех бесселевых функций при k=0,1, 2 изображены на рис. 7,15.

Рис.7.15

После преобразований

=J₀()sin₀t+

+ (в)

Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ-колебанием, равна бесконечно­сти. Однако, если учесть, что с ростом kзначениеJk() быстро уменьшается, и в равенстве (в) отбросить слагаемые рядов, амплитуды которых меньше 0,01, что имеет место приk,то ЧМ-колебание практи­чески занимает полосу частот

(+k) – (-k)=2k2=2=2

Ширина ее зависит от глубины модуля­ции и не зависит от частоты модуляции. Амплитуды боковых частот зависят оти.

При. фазовой модуляции угловая частота _онеизменна и меняется только фаза(t). Следовательно,(t)=₀t+(t). Приняв(t)=_mcostполучим

f(t)=Asin(₀t+_mcost)

_mот частотыне зависит

Опустив выкладки, найдем, что амплитуды боковых частот зависят от _mа ширина полосы частот 2k_m-- от_mи.