§ 7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией.

На рис 7. 1 и 7. 2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами.

Кривая рис. 7. 1, аудовлетворяет условию—f(x+)=f(x). Кривые, для которых выполнимо это условие, называютсимметричными относительно оси абсцисс.Если кривую рис 7. 1,асмес­тить по осихна полпериода и зеркально отразить относительно осих, то полученная кривая совпадет с кривойf(x).

Рис 7. 1.

При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют посто­янная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффи­циенты A0=A`2=A``2=A`4=A``4=…=0

Поэтому кривые типа кривой рис 7. 1, а раскладываются в ряд

f(x)=A`1sin x+ A``1cosx+A`3sin3x +A``3cos3x+ ...

Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию —f(x+)=f(x).Так, например, —sin(x+n)=sinx.

Кривая, подобная кривой рис. 7. 1, b, обладает симметрией относительно оси ординати удов­летворяет условиюf(—x)=f(x).

Рис. 7. 2

Если кривую, лежащую ле­вее оси ординат, зеркально от­разить относительно оси ординат, то полученная кривая совпадет с кривой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные (А`1 = А`2=А`3 = ... =0) и присутствуют лишь косинусные составляющие и постоянная состав­ляющая.

Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, bможно разложить в ряд

f(x)= A0+A``1cosx + A``2cos2x +A``3cos3x+…

Кривые типа кривой рис 7. 2 удовлетворяют условию —f(—х)=f(x);их называют кривыми,симметричными относительно начала координат.Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:

f{x}=A`1sinx+A`2sin2x+A`3sin3x+…

При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление xl растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для k-гармоникиХLk вkраз больше, чем для первой гармоникиХL1:

ХLk = kL = kXL1;

ХL1 = L,

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для k-гармоники Xckвkраз меньше, чем для первой гармоникиXc1:

Хсk=1/(kC)=Xc1/k;

Xc1=1/(C).

Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напря­жения различныхчастот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угло­вые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.

Активные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают от частоты не зависящими *.

При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е. так же, как это делалось в гл. 3.