4.2. Возможные исходы решения задач лп

Выше было указано, что всякая модель ЛП содержит ограничения на линейную функцию F_ц, которая в противном случае не может иметь экстремумов. Однако ограничения, задавая область допустимых решений, могут быть сами заданы некорректно. Может при этом оказаться, что допустимых решений нет вовсе. Например, если плановые задания на выпуск каких-то изделий завышены, то ресурсов задачи может оказаться недостаточно для их реализации. Ниже (табл. 2) приводятся все возможные случаи.

Таблица 2

В общем случае множество допустимых решений в координатах переменных управления из-за линейности ограничений образует выпуклый многогранник, называемый симплексом. Конечно, симплекс может вырождаться в более простую конфигурацию, даже в точку, или быть пустым. Прокомментируем отдельные случаи:

1. задача имеет единственное решение;

2. если решений хотя бы два, то все точки на линии, их соединяющей, также являются решениями; имеем альтернативный оптимум;

3. отсутствие решения еще не говорит об отсутствии экстремума вообще: экстремум есть, но не тот, который требуется в задаче;

4. в этом случае max F_ц = min F_ц; это самый благоприятный исход в экономических задачах, иногда его можно получить анализом исходных данных, преобразуя количество ресурсов без дополнительных затрат; при этом opt F_ц только улучшается за счет полного использования ресурсов;

5. если допустимых решений нет, то и оптимальных быть не может.

С математической точки зрения четвертый и пятый случаи являются вырожденными.