§4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть ч-- примитивный характер по модулю k,

Тогда справедливо равенство

Доказательство, по--существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что ч(-1)=+1. Имеем

Умножая последнее равенство на ч (п) и суммируя по п, при Re s > 1 получим

Ввиду того, что ч -- четный характер, имеем

Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х > 1/х) и пользуясь (6), найдем

Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом s и, следовательно, дает аналитическое продолжение L(s, ч) на всю s-плоскость. Так как Г(s/2)?0, то L(s, ч) -- регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 -- s и ч на , правая часть (10) умножается на , так как ч(-- 1)=1 и, следовательно, ф(ч) ф()= ф(ч) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 0.

Предположим, что ч(--1) = --1. Имеем

Следовательно, при Re s > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L(s, ч) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 -- s и ч на, умножается на i ввиду того, что

ф(ч) ф()= --k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 1. Теорема доказана.

Следствие. L(s, ч) -- целая функция; если ч (--1) = +1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s ? 0 являются полюсы Г , т. е. точки s = 0, --2, --4, ...;

если ч (--1) = --1, то единственными нулями L(s, ч) при Re s ? 0 являются полюсы Г т. е. точки s = --1, --3, --5, .. .

дирихле тривиальный вейерштрасс риман