Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

реферат

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a1, ..., ап, ... -- бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a1| ? |a1| ?...?|аn|<...

И lim = 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа ап (если среди ап есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a1, ..., ап, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

Тогда функция G1(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

где H(s) -- целая функция, а числа 0, a1 ,a2, ..., а…,--- нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность аn , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G1 (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

при s?an,

видим, что ц(s) -- целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм ц(s) -- целая функция. Но тогда ц(s) = eH(s), где H(s) -- целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)-- целая функция конечного порядка б и G(0)?0, sn -- последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s1| ? |s2| ? ... ?|sn|? ... Тогда последовательность sn имеет конечный показатель сходимости в?б,

Где p?0-- наименьшее целое число, для которого

g(s)-- многочлен степени g ?б и б = max (g, в) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r1, r2, ..., rn, ..., rn +?, такая, что

max |G(s)|>, |s| = rn , n = 1, 2, …,

то б=в и ряд расходится.

Делись добром ;)