5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле
Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, ч), ч -- примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, ч) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ? Re s ? 1.
Теорема 5.1. Пусть ч -- примитивный характер. Тогда функция о(s, ч) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей сn таких, что 0?Re сn ? 1, сn ?0, причем ряд расходится, а ряд
сходится при любом е > 0. Нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч).
Доказательство. При Re ?1/2
Последняя оценка |о(s, ч)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства
справедлива также при Re s<l/2; кроме того о(0, ч)? 0. Поскольку In Г(s) ~ s ln s при s -> +?, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, ч)?0 при Re s>l, то из
следует, что о(s, ч) ?0 при Re s < 0, т. о. нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч),лежащими в полосе 0?Re s?l. Теорема доказана.
- Введение
- §1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле
- §2. Функция и(x ,ч), её функциональное уравнение
- §3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость
- §4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле
- §5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле
- 5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций
- 5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле
- §6. Обобщенная гипотеза Римана
- Библиографический список
- Теорема Дирихле.
- § 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле
- 6. Теорема Дирихле
- Условия и ряд Дирихле
- Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
- 1.3. Классическое понятие функции и его трансформация (19 - 20 века)
- Функция Грина задачи Дирихле.
- 11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.