5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a₁, ..., а_п, ... -- бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁| ? |a₁| ?...?|а_n|<...

И lim = 0.

Тогда существует целая функция G(s), которая имеет своими нулями только числа а_п (если среди а_п есть равные, то нуль G(s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a₁, ..., а_п, ... удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд

Тогда функция G₁(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G(s) может быть представлена в виде

где H(s) -- целая функция, а числа 0, a₁ ,a₂, ..., а…,--- нули G(s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а_n , п = 1,2,..., удовлетворяет условиям следствия 5.1., то

Доказательство. Нули G(s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G₁ (s), имеющую своими нулями нули G(s). Полагая

при s?a_n,

видим, что ц(s) -- целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм ц(s) -- целая функция. Но тогда ц(s) = e^H(s), где H(s) -- целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G(s)-- целая функция конечного порядка б и G(0)?0, s_n -- последовательность всех нулей G(s), причем 0 < |s₁| ? |s₂| ? ... ?|s_n|? ... Тогда последовательность s_n имеет конечный показатель сходимости в?б,

Где p?0-- наименьшее целое число, для которого

g(s)-- многочлен степени g ?б и б = max (g, в) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r₁, r₂, ..., r_n, ..., r_n +?, такая, что

max |G(s)|>, |s| = r_n , n = 1, 2, …,

то б=в и ряд расходится.