5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L(s, ч), ч -- примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L(s, ч) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0 ? Re s ? 1.

Теорема 5.1. Пусть ч -- примитивный характер. Тогда функция о(s, ч) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей с_n таких, что 0?Re с_n ? 1, с_n ?0, причем ряд расходится, а ряд

сходится при любом е > 0. Нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч).

Доказательство. При Re ?1/2

Последняя оценка |о(s, ч)| в силу функционального уравнения (9) из §4 и равенства

справедлива также при Re s<l/2; кроме того о(0, ч)? 0. Поскольку In Г(s) ~ s ln s при s -> +?, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L(s, ч)?0 при Re s>l, то из

следует, что о(s, ч) ?0 при Re s < 0, т. о. нули о(s, ч) являются нетривиальными нулями L(s, ч),лежащими в полосе 0?Re s?l. Теорема доказана.