2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций
Пусть основное пространство состоит из бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций действительного переменного , равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции определяется соотношением: .
Если рассматривать как комплексную переменную , то
и - бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получится:
.
В общем случае можно записать:
.
Далее, если - дифференциальный полином с постоянными коэффициентами , то .
Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции называется обобщенная функция , определяемая соотношением:
,
которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.
Свойства преобразования Фурье:
- ;
- ;
- ,
где - оператор, обратный , удовлетворяющий соотношению
;
- ;
- .
Преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной функции Дирака. По определению:
.
- Введение
- 1. Обобщенные функции
- 1.1 Основные понятия
- 1.2 Пространство обобщенных функций
- 1.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
- 1.4 Свойства обобщенных производных
- 1.5 Обобщенные функция , отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами
- 2. Операции над обобщенными функциями
- 2.1 Свертка обобщенных функций
- 2.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций
- 2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций
- Заключение
- Методы решения задач многокритериальной оптимизации – метод обобщенного критерия (метод свертки).
- 3.3. Свертка функций
- 8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению. Сверткой функций будем называть функцию .
- 15.Свертка
- 17.Обобщенные функции. Свертка. Функция корреляции.
- 17.Обобщенные функции. Свертка. Функция корреляции.
- Регуляризация решения уравнения типа свертки
- Итерационный оператор для уравнения типа свертки