Регуляризация решения уравнения типа свертки

Решение интегрального уравнения типа свертки можно записать в следующем виде:

,

где 1/H() – частотная характеристика точного обратного оператора,

F() – спектр исходных данных.

В общем виде это решение является неустойчивым. Регуляризация решения заключается в домножении подынтегрального выражения на некоторую функцию , достаточно быстро убывающую с ростом . В результате получим оператор

,

который называется регуляризирующим оператором если функция K(  удовлетворяет следующим условиям:

K( определена     и          и                  при            при  при      не убывая            L2 

Функция , удовлетворяющая этим условиям, называется стабилизирующей функцией (стабилизирующим множителем).

Существуют различные семейства регуляризирующих операторов, соответствующие различным типам стабилизирующих функций.

Семейству регуляризирующих операторов, предложенному Тихоновым, соответствует стабилизирующий множитель следующего вида:

,

где

.

Число N называется порядком регуляризации, а числа _n – неотрицательные константы.

Таким образом, регуляризация решения интегрального уравнения типа свертки по методу Тихонова заключается в применении приведенного выше стабилизирующего множителя. При этом регуляризирующий оператор имеет следующий вид:

При использовании Тихоновской регуляризации необходимо, в первую очередь, определить вид функции Q(). После задания Q() необходимо определить оптимальное значение коэффициента регуляризации .