8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла.

Например, (8.10)

-это линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Здесь y(x) – неизвестная функция,

f(x) и r(x,t) – заданные функции.

Функцию r(x,t) называют ядром уравнения (8.10),

a и b=const.

Изменим (8.10) следующим образом.

(8.11)

Получим линейное интегральное уравнение Вольтерра 2^го рода.

Если в (8.10) и (8.11) , то уравнения будут называться однородными.

Если искомая функция y(x) входит только под знак интеграла, то (8.10) и (8.11) преобразуются в уравнения Фредгольма и Вольтерра 1^го рода.

или .

Совершенно очевидно, что большую роль в решении будет играть ядро уравнения, т.е. функция r(x,t). Важный класс уравнений Вольтерра получается, если ядро r(x,t) зависит только от разности

r(x,t)=r(x-t).

Уравнение в этом случае имеет вид.

(8.12)

Его еще называют уравнением типа свертки.

Пусть входящие в уравнение (8.12) функции удовлетворяют условиям оригинала, тогда может быть найдено изображение функций по Лапласу

Пользуясь формулой свертки, получим операторное уравнение

.

Откуда

.

Для Ф(р) находим - решение интегрального уравнения (8.12).

Пример. Решить интегральное уравнение

.

Решение:

Так же решаются и системы интегральных уравнений.

Пример. Решить систему интегральных уравнений

в области изображений получим:

преобразовав, будем иметь:

или,

решим методом Крамера: