2.4.2. Фундаментальные последовательности и критерий Коши

1. Дайте определение фундаментальной последовательности. Приведите примеры фундаментальной и нефундаментальной последовательностей.

2. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.

3. Сформулируйте позитивные (без отрицаний) необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того, чтобы данная последовательность не имела предела.

ГЛАВА 4. Предел функции. Непрерывные функции

1. Что вкладывается в понятие предела?

2. Какие понятия математического анализа определяются через предел?

3. Какое поведение последовательности и какое поведение функции описывают пределы?

4.1. Предельная точка множества. Предел функции: определения Гейне и Коши.

4.1.1. Предельная точка множества

1. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры множеств, у которых существуют и не существуют предельные точки.

2. Может ли предельная точка множества ему не принадлежать?

3. Дайте определение предельной точки множества . Приведите примеры.

4. Дайте определение изолированной точки множества. Приведите примеры.

5. Если предельная точка множества, то сколько существует последовательностейтаких, чтопри?

4.1.2. Предел функции: определение Гейне и Коши

1. Как определяется предел функции в точке по Гейне. Приведите геометрическую иллюстрацию.

2. Как определяется предел функции в точке по Коши? Запишите определение предела на языке “” с помощью логических символов. Приведите геометрическую иллюстрацию поведения функции вблизи ее предела.

3. Могут ли в определениях по Гейне и по Коши точка и предел быть символами .

4. Докажите, что , используя определение предела на языке “” и используя определение предела “на языке последовательностей”.

5. Приведите примеры функций, не имеющих предела по Гейне и по Коши при .

6. Как связаны пределы функций в точке по Гейне и по Коши?

7. Почему все свойства пределов для последовательностей автоматически справедливы и для функций?