2.4.2. Фундаментальные последовательности и критерий Коши
Дайте определение фундаментальной последовательности. Приведите примеры фундаментальной и нефундаментальной последовательностей.
Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.
Сформулируйте позитивные (без отрицаний) необходимые и достаточные условия, аналогичные условию Коши, для того, чтобы данная последовательность не имела предела.
ГЛАВА 4. Предел функции. Непрерывные функции
Что вкладывается в понятие предела?
Какие понятия математического анализа определяются через предел?
Какое поведение последовательности и какое поведение функции описывают пределы?
4.1. Предельная точка множества. Предел функции: определения Гейне и Коши.
4.1.1. Предельная точка множества
Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры множеств, у которых существуют и не существуют предельные точки.
Может ли предельная точка множества ему не принадлежать?
Дайте определение предельной точки множества . Приведите примеры.
Дайте определение изолированной точки множества. Приведите примеры.
Если предельная точка множества, то сколько существует последовательностейтаких, чтопри?
4.1.2. Предел функции: определение Гейне и Коши
Как определяется предел функции в точке по Гейне. Приведите геометрическую иллюстрацию.
Как определяется предел функции в точке по Коши? Запишите определение предела на языке “” с помощью логических символов. Приведите геометрическую иллюстрацию поведения функции вблизи ее предела.
Могут ли в определениях по Гейне и по Коши точка и предел быть символами .
Докажите, что , используя определение предела на языке “” и используя определение предела “на языке последовательностей”.
Приведите примеры функций, не имеющих предела по Гейне и по Коши при .
Как связаны пределы функций в точке по Гейне и по Коши?
Почему все свойства пределов для последовательностей автоматически справедливы и для функций?
- Глава 2. Предел числовой последовательности
- 2.1. Определение окрестности точки, числовой
- 2.1.1. Числовая последовательность
- 2.1.2. Предел числовой последовательности
- 2.1.3 Окрестность точки, геометрический смысл предела последовательности
- 2.2. Теорема о единственности предела. Свойства пределов
- 2.2.1. Теорема о единственности предела
- 2.2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- 2.2.3. Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах. Арифметические свойства пределов
- 2.2.4. Неопределенные выражения
- 2.3. Монотонные последовательности. Существование предела. Число
- 2.3.1. Монотонные последовательности
- 2.3.2. Теорема о пределе монотонной последовательности
- 2.3.3. Число e. Натуральные логарифмы
- 2.4. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Критерий Коши существования предела числовой последовательности
- 2.4.1. Частичные последовательности и частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса
- 2.4.2. Фундаментальные последовательности и критерий Коши
- 4.1.3. Конечные пределы функции при и бесконечные
- 4.2. Односторонние пределы
- 4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- 4.4. Основные теоремы о пределах функций
- 4.11.2. Основные теоремы об эквивалентных функциях
- 4.11.3. Основные эквивалентности
- 4.11.4. Предел показательно-степенной функции и неопределенности,