logo
Раздел 03_вопросы

4.4. Основные теоремы о пределах функций

4.4.1. Общие свойства пределов функций

  1. Сформулируйте и докажите теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, о сохранении знака, о предельных переходах в равенствах и неравенствах, о пределе промежуточной функции, о связи функции с ее пределом.

4.4.2. Арифметические свойства пределов функций.  Предел

сложной функции

  1. Сформулируйте и докажите правила предельного перехода в случае арифметических действий над функциями.

  2. Когда вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям? Как в этом случае вычислять предел? Приведите примеры.

  3. Пусть ,. Докажите, что:

а) ,

б) ,

в) ,

г) (при),

д) (при).

4. Пусть (причемпри),. Докажите, что.

5. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции.

4.5. Первый и второй замечательные пределы

4.5.1. Первый замечательный предел

  1. Какой предел называют первым замечательным пределом и для чего его используют? Приведите примеры использования первого замечательного предела.

4.5.2. Второй замечательный предел

  1. Какой предел называют вторым замечательным пределом и для чего его используют? Приведите примеры использования второго замечательного предела.

  2. Приведите две формы записи второго замечательного предела.

4.11.Символика “O” и “o”. Эквивалентные бесконечно малые

4.11.1. Основные определения

  1. Для чего применяются асимптотические формулы? Что понимается под сравнением функций при ()?

  2. Какие функции обозначают символами -малое и -большое? Какие функции называют эквивалентными?

  3. Что подразумевают под словами функция имеет порядокпо сравнению с функциейпри? Докажите, что если

, топри.

  1. Когда говорят, что функции ине сравнимы между собой при()? Приведите примеры таких функций.

  2. Дайте определение эквивалентных бесконечно малых (больших) при , бесконечно малых одного порядка малости (больших одного порядка роста) при, бесконечно малой более высокого (высшего) порядка малости по сравнению спри.

  3. Приведите примеры функций , для которых справедливы равенства:

а) при,

б) при,

в) при.

7. Пусть при,. Докажите, чтопри.

8. Докажите, что если − бесконечно малая при, то при

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) .

9. Пользуясь свойствами символа -малое, запишите для функции равенство видапри, если:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

10. Справедливо ли равенство при, если: а), б), в)? Ответ обоснуйте.