logo
Раздел 03_вопросы

2.4.1. Частичные последовательности и частичные пределы. Теорема Больцано – Вейерштрасса

  1. Дайте определение частичной последовательности (подпоследовательности). Сформулируйте свойства частичных последовательностей.

  2. Дайте определение частичного предела последовательности.

  3. Может ли последовательность не иметь предела, но иметь частичный предел? Ответ обоснуйте.

  4. Всегда ли существуют частичные пределы у последовательностей? Приведите формулировку теоремы Больцано – Вейерштрасса.

  5. Верно ли утверждение: если последовательность имеет единственный частичный предел, то она сходится?

  6. Докажите, что бесконечно большая последовательность не имеет частичного предела.

  7. Верно ли утверждение: если последовательность не ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность?

  8. Докажите, что:

а) из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность,

б) любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой,

в) монотонная неограниченная последовательность не имеет частичного предела.

  1. Пусть . Может ли последовательностьбыть: а) сходящейся (если да, то чему может быть равен ее предел?), б) расходящейся?

  2. Даны последовательности ,,. Укажите какая из них: а) имеет частичный предел, б) не имеет частичного предела, в) имеет два частичных предела, г) имеет только один частичный предел. Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся?

  3. Известно, что последовательности иимеют по одному частичному пределу. Покажите на примерах, что последовательностиимогут: не иметь частичных пределов; иметь один частичный предел; иметь два частичных предела?

  4. Найдите все частичные пределы последовательности , если:

а) ,

б) ,

в) .

  1. Построить последовательность, содержащую подпоследовательность, сходящуюся к любому наперед заданному неотрицательному числу.