Раздел 03_вопросы

2.2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Какие последовательности называются бесконечно малыми (бесконечно большими)? Приведите примеры.
Докажите, что последовательность при− бесконечно малая, а при− бесконечно большая.
Сформулируйте на языке “”отрицаниетого, что последовательность является: а) бесконечно малой, б) бесконечно большой.
Что следует из того, что все члены бесконечно малой последовательности принимают одно и то же значение?
Сформулируйте и докажите теоремы об ограниченности последовательности, о необходимом и достаточном признаке существования предела последовательности.
Пусть последовательность является ограниченной (неограниченной). Следует ли из этого условия, что она сходится (расходится)?
Пусть в любой окрестности точки лежит бесконечно много членов последовательности. Следует ли отсюда, чтоограничена?
Каким образом вводят арифметические операции над числовыми последовательностями?
Что означают символические записи и? Приведите примеры числовых последовательностей, для которых имеют место такие символические записи.
Можно ли поставить один из символов между последовательностямии, если

а) ,

б) ,

в) .

Какими свойствами обладают бесконечно малые и бесконечно большие величины?
Когда бесконечно большая последовательность имеет предел ? Дайте определение с помощью логических знаков, соответствующее символической записи.
Докажите, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Пусть бесконечное число членов последовательности находится: а) в любой окрестности нуля, б) вне любой окрестности нуля. Следует ли из условия а) (условия б)), что последовательность является: бесконечно малой; бесконечно большой; ограниченной; неограниченной? Следует ли из условия а) (условия б)), что последовательность не является: бесконечно малой; бесконечно большой?
Известно, что в некоторой окрестности нуля находится: а) конечное число членов последовательности, б) бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой?
Известно, что последовательность является: а) бесконечно малой, б) бесконечно большой. Следует ли отсюда (при условии), что последовательностьявляется: а) бесконечно малой, б) бесконечно большой?
а) Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной?

б) Является ли бесконечно большая последовательность неограниченной; сходящейся?

в) Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

Известно, что и: а), б). Может ли последовательностьбыть: бесконечно малой; бесконечно большой; сходящейся; расходящейся, но не бесконечно большой? Приведите примеры.
Докажите, что если , то начиная с некоторого номера, определена последовательность, причем.
Пусть − бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, чтои− бесконечно малые последовательности?
Пусть − бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что хотя бы одна из последовательностейибесконечно малая?
Известно, что последовательность сходится, абесконечно большая. Может ли последовательность: а) сходится, б) расходится, но быть ограниченной, в) быть бесконечно большой, г) быть бесконечно малой? Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последовательности

Содержание