2.1.2. Предел числовой последовательности

1. Запишите определение предела последовательности с помощью логических знаков.

2. Дайте определения сходящейся и расходящейся последовательности. Приведите примеры таких последовательностей.

3. Пусть последовательность и числоудовлетворяют условию:

такое, что . Всякая ли сходящаяся кпоследовательность удовлетворяет этому условию?

4. Пусть .

а) Могут ли все члены последовательности быть положительными (отрицательными), если ?

б) Может ли последовательность иметь бесконечно много отрицательных (равных нулю) членов, если ?

в) Докажите, что ,.

5. Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если:

а) из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следования,

б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены последовательности в порядке их следования,

в) в ней изменить произвольным образом конечное число членов?

6. Сформулировать на языке “”определение того, что

а) ,

б) не существует .

7. Докажите по определению, что предел равен.

8. Докажите, что если , то.

9. Привести пример последовательности , удовлетворяющей условиюи такой, что

а) она не имеет предел,

б) она имеет предел. Может ли этот предел быть положительным?