2.2.3. Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах. Арифметические свойства пределов

1. Обоснуйте возможность предельных переходов в равенствах и неравенствах для последовательностей. Докажите арифметические свойства пределов последовательностей.

2. Пусть последовательность сходится, арасходится. Докажите, чторасходится,сходится,расходится при. Покажите на примерах, что последовательностьможет: а) сходится, б) расходится.

3. Пусть последовательность сходится. Следует ли из этого, чтоисходятся?

4. Дано: ,. Докажите, что:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

5. Докажите, что , если,.

6. Пусть , причем. Следует ли отсюда, что: а), б)?

7. Докажите, что если и, то.

8. Известно, что . Найдите предел последовательности, если:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

9. Известно, что . Докажите, что:

а) , если,

б) , если.