Правильні многокутники

Опуклий многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні й усі кути рівні. Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до деякого кола. Теорема 1. Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло й описаним навколо ­кола. Вписане й описане кола правильного многокутника мають один і той самий центр, який називається центром многокутника. Кут, під яким видно сторону правильного многокутника із цього центра, називається центральним кутом многокутника. На рисунку — центральний кут многокутника. ; ; . Теорема 2. Правильні опуклі n-кутники подібні. Зокрема, якщо у них сторони рівні, то такі n-кутники рівні. Правильний трикутник (рівносторонній) На рисунку: ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Правильний чотирикутник (квадрат) На рисунку: ; ; ; ; ; ; ; — рівнобедрені прямокутні трикутники. Правильний шестикутник На рисунку: ; ; сторона а; ; ; ; ; — рівноcторонні трикутники; ABCD — рівнобічна трапеція з кутами і ; , ; — рівнобедрений; ; ; ; . Діагональ . Зверніть увагу: якщо з’єднати послідовно середини сторін правильного n-кутника, отримаємо правильний n-кутник (див. рисунки). Якщо через вершини правильного n-кутника провести дотичні до описаного навколо нього кола, отримаємо правильний ­n-кутник. Якщо з’єднати через одну вершини правильного 2n-кутника, отримаємо правильний n-кутник.

Довжина кола

Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох кіл. Це число позначається . , де l — довжина кола, R — радіус. Отже, або ; — число ірраціональне, . Довжина дуги кола, яка відповідає центральному куту : . Радіанна міра кута описана в розділі «Алгебра. 10 клас» («Тригонометрія»).

Площі фігур

Геометричну фігуру називають простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників. Для простих фігур площа — це додатна величина, числове значення якої має такі властивості: • рівні фігури мають рівні площі; • якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площі її частин; • площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці. На рисунках, поданих нижче, зображені основні геометричні фігури; поруч даються формули їх площ.

Площа паралелограма

Площа паралелограма обчислюється за формулою S = ha, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота. Оскільки (див. рисунок), то . Із двох різних висот паралелограма більша та, яка опущена на меншу сторону. AC = d1; BD = d2; ; . Трикутники AOB, BOC, COD, DOA мають рівну площу:

Площа прямокутника

; ; d = AC; , де R — радіус описаного кола, R = AO.

Площа ромба

, . У ромбі висоти дорівнюють одна одній. ; d1 = AC, d2 = = BD; , де r — радіус вписаного в ромб кола.

Площа квадрата

; .

Площа трикутника

, де h — висота, a — сторона, до якої проведена ця висота. Оскільки , то . Висоти трикутника обернено пропорційні сторонам, на які вони опущені. Зверніть увагу: більшій стороні трикутника відповідає менша висота, і навпаки. , , де P — периметр трикутника, r — радіус вписаного кола. , , де R — радіус описаного кола. — формула Герона. p — півпериметр трикутника.

Площа прямокутного трикутника

Площа рівностороннього трикутника

.

Властивості медіани трикутника

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (тобто такі, що мають однакову площу) трикутники. . Три медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників. .

Площа трапеції

де h — висота, a, b — основи трапеції. , де h — висота, m — середня лінія. . Якщо в трапецію можна вписати коло радіуса r, то , де P — периметр трапеції.

Деякі властивості трапеції

. ; . Якщо ; .

Площа чотирикутника

Площа круга

S =pR2 Круговим сектором називається частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута (див. рисунок). Sсект , де — гра­дусна міра відповідного центрального кута. Круговим сегментом називається спільна частина круга й півплощини. На рисунку нижче зліва зображений круговий сегмент, якщо ; на рисунку справа — круговий сегмент, якщо .    

Площі подібних фігур

Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних розмірів. Зокрема, для трикутників: ; ; . Для кіл: .

Геометрія. 10 клас

Стереометрія

Стереометрія — це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі. Основні фігури в просторі: точка, пряма і площина.

Аксіоми стереометрії

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тільки одну. II. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими. III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини. V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює . Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами. VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жи­ни, й тільки один. VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за , і тільки один. VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині. IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній. До цих аксіом додаються три аксіоми ­групи С. . Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй. . Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. . Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну. Теорема 1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, й до того ж тільки одну. Теорема 2. Через пряму можна провести дві різні площини (див. рисунок). Теорема 3. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині. Отже, можливі три варіанти взаємного розміщення прямої і площини в просторі. 1. Пряма лежить у площині (рисунок зліва). 2. Пряма перетинає площину в даній точці (рисунок справа). 3. Пряма не перетинає площину (див. рисунок). У даному випадку пряма а називається паралельною площині. Теорема 4. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, й до того ж тільки одну. Для розв’язання задач можуть бути корисними такі твердження. 1. Якщо дві різні прямі перетинаються у деякій точці (рисунок нижче зліва), то всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через цю точку, лежать в одній площині. 2. Усі прямі, які перетинають дану пряму й проходять через дану точку поза прямою, лежать в одній площині (рисунок справа).