Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і називається число . Позначення: . . Очевидно, що . Розподільна властивість скалярного добутку: . Кутом між ненульовими векторами і називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами і називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Вважають, що кут між однаково напрямленими векторами дорівнює 0. Теорема 1. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх абсолютних величин і косинуса кута між ними: (див. рисунок). Звідси . Теорема 2. Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0. ; ; .

Розкладання вектора за координатними осями

Вектор називається одиничним, якщо його абсолютна величина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, які мають напрями додатних координатних півосей, називаються координатними векторами,або ортами (див. рисунок). Позначення: ; . Оскільки координатні вектори відмінні від нуля й неколінеарні, то будь-який вектор можна розкласти за цими векто­рами: .

Геометрія. 9 клас

Подібність фігур

Перетворення фігури F у фігуру називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів. Якщо відстані змінюються у k разів, то k називається коефіцієнтом подібності. Якщо , перетворення подібності є рухом. Нехай F — дана фігура й О — фіксована точка. Через довільну точку Х фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок , що дорівнює , де k — додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка Х переходить у точку , побудовану в такий спосіб, називається гомотетією відносно центраО з коефіцієнтом k. Якщо k — число від’ємне, відрізок відкладають на півпрямій, що є доповняльною до ОХ. На рисунку наведена гомотетія відносно центра з коефіцієнтом 2. Теорема. Гомотетія є перетворенням подіб­ності.

Властивості перетворення подібності

Теорема 1. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки. Теорема 2. Перетворення подібності зберігає кути між півпрямими. Із цього випливає, що перетворення подіб­ності переводить паралельні прямі в паралельні прямі. Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Позначення: .

Властивості подібних фігур

Теорема. Коли фігура подібна фігурі , а фігура — фігурі , то фігури і подібні. Із властивостей перетворення подібно­сті випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABC і : ; ; ; .

Ознаки подібності трикутників

Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні. Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні. Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, то такі трикутники по­дібні. Із цих теорем випливають факти, що є корисними для розв’язування задач. 1. Пряма, яка паралельна стороні трикутника і яка перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього трикутник, подібний даному. На рисунку . 2. У подібних трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси тощо) відносяться як відповідні сторони. 3. У подібних трикутників периметри відносяться як відповідні сторони. 4. Якщо О — точка перетину діагоналей трапеції ABCD , то . На рисунку в трапеції ABCD: . 5. Якщо продовження бічих сторін трапеції ABCD перетинаються в точці K, то (див. рисунок). .