Висота, бісектриса, медіана трикутника

Висотою трикутника, опущеною з да­ної вершини, називається перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. У кожному трикутнику можна провести три висоти. Висоти трикутника (або прямі, що їх містять) перетинаються в одній точці. На рисунках зображено, як перетинаються висоти в гострокутному (рисунок 1), прямокутному (рисунок 2) і ту­покутному (рисунок 3) трикутниках. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Зверніть увагу: якщо в гострокутному трикутнику основи всіх висот лежать на сторонах трикутника, то в прямокутному дві з трьох висот збігаються зі сторонами, а основа висоти, що опущена з вершини гострого кута тупокутного трикутника, лежить на продовженні ­сторони. Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні. У кожному трикутнику можна провести три бісектриси, які перетинаються в одній точці (див. рисунок). Ця точка є центром вписаного кола (див. далі). Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що сполучає цю вершину із серединою протилежної сторони. У трикутнику можна провести три медіани, які перетинаються в одній точці.

Рівнобедрений трикутник

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона — основою трикутника. На рисунку: ABC — рівнобедрений трикутник; — бічні сторони; AC — основа. Теорема 1. У рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними. Теорема 2. У рівнобедреному трикутнику медіана, висота й бісектриса, проведені до основи, збігаються. Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику медіани, проведені до бічних сторін (а також бісектриси й висоти), рівні.

Рівносторонній трикутник

Якщо всі сторони трикутника рівні, він називається рівностороннім. На рисунку . Теорема 1. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Теорема 2. У рівносторонньому трикутнику висота, медіана, бісектриса, проведені з однієї вершини, збігаються. Теорема 3. У рівносторонньому трикутнику всі медіани (висоти, бісектри­си) рівні між собою.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Теорема 1. Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений. Теорема 2. Трикутник рівнобедрений, ­якщо: • одна з його висот є медіаною; • одна з його медіан є бісектрисою; • одна з його висот є бісектрисою. Теорема 3. Трикутник рівнобедрений, ­якщо: • дві його висоти рівні; • дві його медіани рівні; • дві його бісектриси рівні. Аналогічно можна сформулювати ознаки рівностороннього трикутника.

Паралельні прямі

На рисунку зображені кути, утворені в результаті перетину двох прямих січною: і ; і — внутрішні різносторонні кути при прямих a, b і січній c. і ; і — внутрішні односторонні. і ; і — зовнішні односторонні. і ; і — зовнішні різносторонні. і ; і ; і ; і — відповідні.

Властивості паралельних прямих

Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то: 1) внутрішні різносторонні кути рівні; 2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює ; 3) зовнішні різносторонні кути рівні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює ; 5) відповідні кути рівні. На рисунку позначені числами чотири пари кутів. Теорема стверджує, що, якщо , то , ; ; ; : Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої. Теорема 3. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній. Об’єднуючи це твердження з аксіомою IX, отримуємо: через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, причому тільки одну.

Ознаки паралельності прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов: а) внутрішні різносторонні кути рівні; б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює ; в) зовнішні різносторонні кути рівні; г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює ; д) відповідні кути рівні,— то прямі пара­лельні. Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній. Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.

Сума кутів трикутника

Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює . Із цієї теореми випливають наслідки: 1. У будь-якому трикутнику принаймні два кути гострі (тобто в трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого ­кута). 2. Кути рівностороннього трикутника дорівнюють . Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний із кутом трикутника при цій вершині (див. рисунок):

Властивості зовнішнього кута

Теорема 1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним. Теорема 2. Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Теорема 3. Сума зовнішніх кутів трикутника дорівнює .

Прямокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут. Сторона, яка лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами. На рисунку — прямокутний. AB і BC — катети, AC — гіпотенуза. Теорема. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює .

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 3. Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні. Теорема 4. Якщо катет і прилеглий (протилежний) гострий кут одного прямо­кутного трикутника відповідно до­рівнюють катету й прилеглому (про­тилежному) гострому куту другого три­кутника, то такі трикутники ­рівні.

Властивість катета, протилежного куту в 30°

Теорема 1. У прямокутному трикутнику з кутом катет, протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи. Теорема 2. Якщо в прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний цьому катету кут дорівнює .

Коло

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається цент­ром кола. Відстань від точок кола до його центра називається радіусом кола. Радіусом також називається будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром. Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. На рисунку зображено коло з центром у точці O. OA — радіус кола, MN — діаметр, BC — хорда. Теорема 1. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл. Теорема 2. Діаметр, який проходить через середину хорди, перпендикулярний до неї. Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини. Теорема 3. Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Його центр — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Зверніть увагу: у гострокутному трикутнику центр описаного кола лежить у середині трикутника (рисунок нижче зліва). У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи (рисунок посередині). Центр кола, описаного навколо тупокутного трикутника, лежить поза трикутником (рисунок справа).