Теорема Піфагора

Теорема 1 (Піфагора). У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Правильною є і теорема, обернена до теореми Піфагора. Теорема 2 (обернена). Коли в трикутнику сторони a, b, c і , то цей трикутник є прямокутним з гіпотенузою c. Теорема 3. У прямокутному трикутнику будь-який із катетів менший за гіпотенузу. Корисно пам’ятати довжину сторін деяких прямокутних трикутників. Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць. Тобто можливі варіанти: 3, 4, 5 або 6, 8, 10, або 3k, 4k, 5k, де k ∈ N. Також прямокутними є трикутники зі сторонами, які дорівнюють 5k, 12k, 13k; 8k, 15k, 17k; 7k, 24k, 25k, де k ∈ N.

Перпендикуляр і похила

Нехай BA — перпендикуляр, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від A (див. рисунок). Відрізок BC називається похилою, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається основою похилої. Відрізок AС називається проекцією похилої.

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, в якої проекція більша. На рисунку BD, BC, BP — похилі, AB — перпендикуляр, ; ; .

Нерівність трикутника

Теорема. Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більша, ніж сума відстаней від них до третьої точки. Звідси випливає, що у будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль різниці двох інших сторін. Якщо a, b і c — сторони трикутника (див. рисунок), то ; ; .

Співвідношення між сторонами й кутом прямокутного трикутника

Нехай ABC — прямокутний трикутник з прямим кутом С і гострим кутом при вершині A, що дорівнює . Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення при­лег­лого катета до гіпотенузи. На рисунку або . Синусом кута називається відношення протилежного катета до гіпотенузи: або . Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого: або . Котангенсом кута називається відношення прилеглого катета до протилежного: або . Значення , , , залежать тільки від величини кута. З означень випливає, що для гострих кутів і прямокутного трикутника (див. рисунок) маємо: ; ; ; ; , а також , . Треба вміти знаходити елементи прямокутного трикутника, якщо дані яка-небудь сторона й один із гострих кутів. Розглянемо такі задачі. 1. Дано: ; (гіпотенуза і гострий кут). Знайти: b; a; . Розв’язання: ; ; . 2. Дано: ; (катет і прилеглий кут). Знайти: a; c; . Розв’язання: ; ; . 3. Дано: ; (катет і протилежний кут). Знайти: b; c; . Розв’язання: ; ; . Катет, прилеглий до кута , дорівнює добутку гіпотенузи і . Катет, протилежний куту , дорівнює добутку гіпотенузи і . Катет, протилежний куту , дорівнює добутку другого катета і . Основні тригонометричні тотожності, зміну , , при зростанні кута описано в розділі («Алгебра. 10 клас. Тригонометричні функції»). Значення , , , деяких кутів: Корисним є знання таких співвідношень. 1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою й проекцією цього катета на гіпотенузу. 2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу. На рисунку нижче в трикутнику ABC: ; ; .

Декартові координати на площині

Поняття декартових координат на площині описано в розділі «Математика, 6 клас».

Координати середини відрізка

Якщо , — довільні точки, — середина відрізка AB, то ; .

Відстань між точками

Якщо , — довільні точки і AB відстань між ними, то або . У випадку, коли точка B збігається з початком координат , отримуємо: . Рівнянням фігури на площині в декартових координатах називається рівняння з двома змінними x і y, яке задовольняють координати будь-якої точки фігури й тільки вони.

Рівняння кола

— рівняння кола з центром у точці і радіусом R. Зверніть увагу: рівняння , де , задає коло й може бути зведеним до стандартного виду.

Рівняння прямої

Будь-яка пряма в декартових координатах x, y має рівняння виду: , де a, b, c — деякі числа. Знаходження координат точки перетину прямих та випадки розміщення прямої відносно системи координат описано в розділі «Алгебра. 8 клас» («Лінійна функція»). Рівняння прямої, яка перетинає осі координат в точках і , де , , можна записати у вигляді: .

Кутовий коефіцієнт у рівнянні прямої

Якщо рівняння прямої можна записати у вигляді , то коефіцієнт k назива­ється кутовим коефіцієнтом прямої. 1. Дві прямі паралельні тоді й тільки тоді, коли у них збігаються кутові коефіцієнти, а точки перетину з віссю ординат різні. 2. Кутовий коефіцієнт з точністю до знака дорівнює тангенсу гострого кута, утвореного прямою з віссю абсцис (або дорівнює тангенсу кута між прямою й додатним напрямком осі Ox). 3. Прямі, що задані рівняннями і , перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли .

Означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса для будьякого кута від 0° до 180°

Візьмемо коло на площині Oxy з центром у початку координат і радіусом R. Відкладемо від додатної півосі Ox кут у верхню півплощину (див. рисунок нижче). Точку перетину сторони кута з колом назвемо . Вона має координати . Тоді ; ; ; . При такому означенні: ; ; ; ; не існує; ; ; не існує. ; ; .

Рух

Якщо кожну точку даної фігури змістити деяким чином, то дістанемо нову фігуру. Кажуть, що ця фігура утворюється перетворенням даної. Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо це перетворення зберігає відстань між точками.

Властивості руху

1. Два рухи, виконані послідовно, дають знову рух. 2. Перетворення, обернене до руху, є рух. 3. Під час руху точки, що лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення. 4. Під час руху прямі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки. 5. Під час руху зберігаються кути між півпрямими. 6. Під час руху паралельні прямі переходять у паралельні прямі.

Симетрія відносно точки

Нехай O — фіксована точка, X — довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка OX за точку O відрізок , що дорівнює OX. Точка називається симетричною точці X відносно точки O(див. рисунок). Очевидно, що точка, симетрична , є точка X. Перетворення фігури F у фігуру , при якому кожна її точка X фігури F переходить у точку , симетричну відносно точки O, називається перетворенням симетрії відносно точкиO. Фігури F і називаються симетричними відносно точкиO (див. рисунок). Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у себе, то фігура F називається центрально-симетричною, а точка O — її центром симетрії. Наприклад, точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії (рисунок нижче зліва). Центр кола є його центром симетрії (рисунок справа). Теорема. Перетворення симетрії відносно точки є рухом.