Описані кулі

Кожна грань вписаного у сферу многогранника є вписаним у деяке коло многокутником. Основи перпендикулярів, які опущені з центра описаної кулі на площини граней, є центрами описаних навколо граней кіл. Отже, центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка перетину перпендикулярів до площини граней, які проведені через центри кіл, описаних навколо граней. Якщо призма вписана в кулю, то вона є прямою і навколо її основи можна описати коло. Наприклад, довільна правильна призма може бути вписана в кулю. Центром описаної кулі буде середина висоти призми, яка проходить через центри кіл, що описані навколо основ призми. Центр описаної навколо призми кулі може буде розташований всередині призми, поза призмою, на бічній грані. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати кулю. Центр її лежить на осі піраміди. Центр описаної навколо піраміди кулі може лежати всередині піраміди, поза пірамідою, на бічній грані, на основі. Центр описаної навколо піраміди кулі — точка перетину перпендикуляра, проведеного до основи піраміди через центр описаного навколо основи кола, й серединного перпендикуляра до бічного ребра, проведеного в площині, яка проходить через бічне ребро й названий вище проведений до основи піраміди перпендикуляр. Для правильної піраміди центр описаної кулі — це точка перетину прямої, яка містить висоту піраміди, й серединного перпендикуляра до бічного ребра. Приклад На рисунку SABCD — правильна чотирикутна піраміда, вписана у сферу. P — центр описаної кулі, PN — серединний перпендикуляр до бічного ребра. (Зверніть увагу: якщо в умові задачі не задано, де лежить центр описаної кулі — усередині піраміди чи поза пірамідою, бажано розібрати, чи впливає це на розв’язання задачі та як саме.) — радіус описаної кулі Rк. OC — радіус кола, описаного навколо основи Rосн. — висота піраміди. ; або ; , де b — бічне ребро. Якщо зрізана піраміда вписана в кулю, то її основи — многокутники, навколо яких можна описати коло. Бічні грані такої зрізаної піраміди — рівнобічні трапеції. Отже, всі бічні ребра дорівнюють одне одному. Із цього випливає, що бічні ребра вихідної піраміди рівні, значить, основа висоти вихідної піраміди — центр кола, описаного навколо її основи. Центр описаної кулі знаходимо так само, як і для повної піраміди.

Вписані кулі

Якщо куля вписана в призму, то в її перпендикулярний переріз можна вписати коло. Висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, тобто діаметру вписаної кулі. Центр кулі — середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в перпендикулярний переріз. Центр кулі, яка вписана в пряму призму, — це середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в основу призми.

Описана піраміда

Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі — точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи. У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди. Точки дотику кулі й бічних граней лежать на висотах бічних граней, а точка дотику вписаної кулі й основи є центром кола, вписаного в основу. Під час розв’язування задач на кулю, що вписана в піраміду, доцільно розглянути певні трикутники. На рисунку, наведеному нижче, такими трикутниками є ; ; . O — центр кола, яке вписане в основу; P — центр вписаної в піраміду кулі; SO — висота піраміди; SD — висота бічної грані. — лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані CSB і площиною основи; DP — бісектриса ; ; N — точка дотику кулі й бічної грані; O — точка дотику кулі й основи; — радіус кулі; OD — радіус кола, вписаного в основу, — rосн. 1. Розглянемо . За властивістю бісектриси трикутника або , де l — довжина апофеми. 2. ; або . 3. Розглянемо . .