Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Від­станню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину. На рисунку AB — перпендикуляр; AC — похила; BC — проекція. Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини. Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини. Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до пло­щини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією по­хилої.

Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини

1. Похилі, проведені до площини з однієї точки (рисунок нижче зліва), рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають рівні проекції. 2. Якщо з точки до площини проведені дві похилі, то більша та з них, яка має більшу проекцію, і навпаки, більша похила має більшу проекцію. Зверніть увагу, що ці властивості зберігаються для похилих, які проведені до площини з різних точок, але мають однакову довжину перпендикуляра (рисунок справа).

Теорема про триперпендикуляри

Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої. Приклади застосування теореми про три перпендикуляри 1. На рисунку — куб. , тому що: — перпендикуляр, — похила, СD — проекція. 2. На рисунку , тоді , тобто AC є відстанню від точки A до прямої CD. AB — перпендикуляр, AС — похила, BС — проекція. 3. На рисунку ABCD — прямокутник, у даному випадку квадрат. ; . , , , — прямокутні. 4. На рисунку ABCD — ромб. . 5. На рисунку нижче — рівнобедрений, . BD — бісектриса (медіана, висота), . FB — перпендикуляр, FD — похила, BD — проекція. Теорема 2. Пряма, перпендикулярна до площини трикутника і проведена через центр вписаного в нього кола (див. рисунок), є геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від сторін трикутника.

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (див. рисунок). Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності площин

Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (див. рисунок). Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини (див. рисунок). Приклад застосування теореми 2 Нехай є дві перпендикулярні площини і , які перетинаються по прямій a (див. рисунок). Знайти відстань від точки A, яка лежить в площині і не лежить в площині , до площини . У площині будуємо перпендикуляр до a через точку A. Нехай він перетинає a в точці B. AB — шукана відстань. Зверніть увагу на таке. 1. Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини (див. рисунок). (Але всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку.) 2. Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то це не означає, що вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині. Наприклад, на рисунку нижче , і перетинаються по прямій b, , причому a нележить в жодній із площин і . Отже, пряма a водночас паралельна двом перпендикулярним площинам. 3. Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї і ­тієї самої площини, то ці площина й пряма паралельні. На рисунку: ; ; . 4. Через довільну пряму, яка не перпендикулярна до даної площини, можна провести єдину площину, перпендикулярну до ­даної. 5. Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, яка є перпендикулярною до однієї із цих площин і проходить через їх спільну точку, обов’язково буде лежати в другій площині (див. рисунок).