9.Методические подходы к изучению объемов многогранников.

О понятии объема фигуры.

Понятие объема фигуры вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Первоначальное представление об объеме фигуры связывается у учащихся с подсчетом числа кубиков, длина ребра которых равна линейной единице измерения, заполняющих эту фигуру. Такое представление об объеме позволяет посмотреть в школьном курсе геометрии вопрос об объеме прямоугольного параллелепипеда, вывести формулу для его нахождения. Далее изучается объем призмы, затем объем пирамиды, далее объемы других многогранников и фигур вращения. Принципиальные трудности, возникающие при изучении объемов, носят тот же характер, что и при изучении площадей, но имеют определенную специфику. Так, если при измерении площадей непосредственное сравнение площади конкретной фигуры с единицей площади вызывало затруднения, но все же было возможным, то для измерения объемов сравнение с единичным кубом практически вообще невозможно, ему на смену всегда приходит измерение косвенное.

Использование интеграла при вычислении объема фигур по площадям его поперечных параллельных сечений.

Теоретическое обоснование метода:

Рассмотрим фигуру D, ограниченную двумя опорными плоскостями α и β, проведенными перпендикулярно оси Ох через точку х=а и х=b. Пусть фигура D обладает следующими свойствами: 1) любое поперечное сечение фигуры D плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрируемая фигура σ, числовое значение площади которой равно значению функции S(x), определенной и непрерывной на отрезке [а;b].

2) ортогональные проекции любой пары поперечных сечений фигуры D плоскостями, перпендикулярными оси Ох, на опорные плоскости целиком содержатся одна в другой.

Тогда фигура D кубируема, и ее объем можно вычислить по формуле:

V=((инт.от а до b)S(x)dx) (куб. ед.)

Этот метод можно применять для вычисления объема пирамиды, конуса и шара.

Использование формулы Симпсона для вычисления объема по площади параллельных сечений.

Малая формула Симпсона применима для вычисления объемов некоторых фигур, дадим теоретическое обоснование возможности такого использования. Пусть D – фигура с допустимыми поперечными параллельными сечениями. Тогда объем фигуры, значения площадей поперечных сечений на сегменте [а;в] выражаются значениями квадратного трехчлена Q(x), вычисляется по формуле

V=(b-a)/6[Qн+4Qc+Qк],

где Qн=Q(a), Qc=Q((a+b)/2), Qк=Q(b) соответственно площади начального, среднего и конечного сечений.

Малая формула Симпсона применима для вычисления объема пирамиды, конуса и бара и его частей, так как числовые значения площадей их поперечных сечений выражаются в виде квадратной (или линейной) функции.

Применение принципа Кавальери для нахождения объемов фигур.

При нахождении объемов можно использовать принцип Кавальери. Рассмотрение этого вопроса следует начать с обоснования Кавальери, используя для этого теорию определенного интеграла: Если две фигуры заключены между двумя параллельными плоскостями и обладают тем свойством, что при пересечении их любой плоскостью, параллельной указанным плоскостям, получаются фигуры-сечения, имеющие одинаковые площади, то объемы этих фигур равны.

Основной целью введения этой темы в школьном курсе геометрии является продолжение систематического изучения многогранников в ходе решения задач на вычисление их объемов.

Анализ учебников.

В учебнике Левона Сергеевича Атанасяна «Геометрия 10-11 классы» тема «Объемы тел» дана самой последней главой, где даются объемы не только многогранников, но и тел вращения. Вся эта глава рассчитана на 22 часа. В ней 4 параграфа: §1.Объем прямоугольного параллелепипеда §2.Объем прямой призмы и цилиндра §3.Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса §4.Объем шара и площадь сферы.

В этой главе на отыскание объем многогранников даны 45 задач, дополнительно20 задач. Еще есть разные задачи на многогранники и задачи повышенной трудности.

Понятие площади вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры и формулируются свойства объемов. Существование и единственность объема тела принимается без доказательства.

Объем прямоугольного параллелепипеда выводится с использованием свойств объема и интуитивных представлений учащихся о предельном переходе. С помощью формулы объема прямоугольного параллелепипеда выводится формула объема треугольной пирамиды, основанием которого является прямоугольный треугольник. С использованием этого факта и свойств объема выводится формула объема прямой призмы. Объемы наклонной призмы и пирамиды выводятся с использованием интеграла.

В учебнике Игоря Федоровича Шарыгина «Геометрия 10-11 классы» тема «Объемы многогранников» дана пятой главой в самом начале 11-го класса. Здесь даны 7 параграфов: 5.1.Что такое объем?

5.2.Объем прямоугольного параллелепипеда

5.3.Принцип подобия

5.4.Объем пирамиды

5.6.Вычисление объемов многогранников

5.7.*Использование свойств объема при решении задач.

Также как и в учебнике Л.С.Атанасяна понятие площади вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры и формулируются свойства объемов. Существование и единственность объема тела принимается также без доказательства.

В учебнике А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» тема «Объемы многогранников» дана в параграфе 21 после параграфа «Тела вращения». В этом параграфе 10 пунктов: 1.понятие объема, 2.объем прямоугольного параллелепипеда, 3.объем призмы, 5.равновеликие тела, 6.объем пирамиды, 7.объем усеченной пирамиды, 8.объемы подобных тел, 9.контрольные вопросы, 10.задачи.

В этом параграфе на отыскание объемов многогранников даны 49 задач.

По этому учебнику понятие объема и его свойства могут быть изучены на ознакомительном уровне с опорой на наглядные представления и жизненный опыт учащихся. При выводе формул объемов прямоугольного параллелепипеда, пирамиды широко привлекаются интуитивные представления учащихся о предельном переходе. Вывод формулы объема наклонного параллелепипеда имеет служебный характер с его помощью выводится формула объема призмы.

В этих трех учебниках все теоремы, следствия, утверждения идут с доказательствами. Только в учебнике Погорелова сначала идет доказательство и после формируется сама теорема. Примеры решения задач даны только в учебнике Погорелова. В учебнике Атанасяна объем пирамиды и объем наклонной призмы выводятся методом определенного интеграла.