Глава 7. Треугольники и четырехугольники.

7.4. Площадь прямоугольника.

Попытаемся сравнить два прямоугольника. Понятно, что сравнить их наложением не удастся, т.к. ни один из них не помещается в другом. Но эти прямоугольники можно сравнить по площади. Вообще, по площади можно сравнивать любые фигуры, например круг с треугольником.

Прежде всего нам нужно выбрать единицу измерения площади. Если у нас есть единица длины, то за единицу измерения площади удобно взять единичный квадрат со стороной, равной единичному отрезку. Такой квадрат называется квадратной единицей.

Если фигуру можно разбить на единичные квадраты, то площадь фигуры равна числу квадратных единиц, ее составляющих.

Сперва изучается площадь прямоугольника, потом квадрата.

Рассмотрим различные подходы к определению понятия площади в учебниках геометрии.

3. Класс: 8

Учебник: Л.С. Анатасян «Геометрия 7-9»: Площади фигур (14ч)

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна 16 квадратным метрам, площадь садового участка — восьми соткам.

Опр: Площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Затем формулируются свойства площадей многоугольника:

1. равные многоугольники имеют равные площади.

2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Сперва изучается площадь квадрата, потом прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, круга, кругового сектора.

4. Класс: 9

Учебник: А.В. Погорелов 7-11: Площади фигур (12ч).

Геометрическую фигуру будем называть простой, если ее можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.

Примером простой фигуры является выпуклый плоский многоугольник. Он разбивается на плоские треугольники диагоналями, проведенными из какой-нибудь вершины.

Опред: Площадь — это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствам:

1. равные фигуры имеют равные площади.

2. если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей.

3. площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Сперва изучается площадь прямоугольника, потом параллелограмма, треугольника, трапеции, треугольника с использованием вписанной, описанной окружности, площадь круга, сектора, сегмента.

5. Класс: 9

Учебник: Г.П. Бевз «геометрия 7-11»: Площади многоугольника и круга

Каждый многоугольник (с его внутренней областью) занимает часть плоскости. Чтобы можно было сравнивать такие части плоскости, вводят понятие «площади».

Основные свойства площади:

1. каждый многоугольник имеет определенную площадь, выражаемую положительным числом.

2. равные многоугольники имеют равные площади.

3. если многоугольник разбит на несколько частей, то его площадь равна сумме площадей всех этих частей.

Значение площади задается не только числом, но и наименованием. Пр, площадь 1 дм² можно представить и как 100 см², и как 0, 01 м².

Чтобы не усложнять изложение, в теоретических рассуждениях принимают длину некоторого (единичного) отрезка за единицу длины.

А площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку, считается равной единице площади.

Сперва изучается площадь прямоугольника, потом квадрата, параллелограмма, трапеции, треугольника, многоугольника с использованием вписанной окружности, круга.

6. Класс: 9

Учебник: И.Ф. Шарыгин «геометрия 7-9»: Площади многоугольников(16ч)

В обычной жизни мы на каждом шагу встречаемся с площадями. Площадь — это и квадратные метры наших квартир, гектары полей и т.д.

Опр: Площадь — это число, которое ставится в соответствии ограниченной плоской фигуре.

Свойства:

1. Площадь фигуры является неотрицательным числом.

2. Площади равных фигур равны.

3. Если фигура разделена на две части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей образовавшихся частей.

4. за единицу измерения площади принимается площадь квадрата со стороной, равной 1 единице длины.

Сперва изучается площадь прямоугольника, потом параллелограмма, треугольника (половина высоты на сторону), трапеции, остальные формулы площади треугольника, площадь произвольного четырехугольника, площадь треугольника по формуле герона, круга, сектора, сегмента.

7. Класс: 8

Учебник: А.Д. Александров «геометрия 8-9»: Площади многоугольных фигур (18ч)

Все знают, что такое площадь комнаты, площадь участка земли... Если участок земли состоит из нескольких участков, то его площадь слагается из их площадей. Также ясно, что у одинаковых участков одна и та же площадь.

Опред: для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с свойствами:

1. если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.

2. равные треугольники имеют одну и ту же площадь.

сперва изучается площадь прямоугольника, потом квадрата, параллелограмма, трапеции, треугольника, многоугольника с использованием радиуса вписанного круга, круга.

Сделать общий вывод: таким образом, в различных школьных курсах планиметрии понятие площади трактуется неодинаково.