16. Методика изучения уравнений и неравенств, содержащий знак абсолютной величины.
Нет решение методом интервалов. Рассматриваются ли уравнения и неравенства с двумя и более модулями.
Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины в школьном курсе математики как отдельная тема не изучается. Впервые понятие модуля встречается в 6 классе, где дается определение модуля числа. Но в учебниках разных авторов даются в различных главах. В учебниках Г.В. Дорофеева модуль числа дается при сравнении рациональных чисел на примере: модуль числа -6,5 равен 6,5, модуль числа -4 равен 4.
Потом объяснение происхождения модуль и после этого вводится обозначение |а|.
В учебнике Н.Я. Виленкина дается при изучении положительных и отрицательных чисел как отдельный пункт «Модуль».
Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки на координатной прямой.
Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, ибо модуль числа – это расстояние, что модуль положительного числа и нуля он равен самому числу, а для противоположного – противоположному числу и противоположные числа имеют равные модули |-а|=|а|.
Далее понятие модуля встречается при решении уравнений и неравенств, начиная с 7 класса.
По учебнику Ю.Н. Макарычева, модуль встречается в дополнительных упражнениях в главе 7 «Графики», параграфа «функции и их графики».
Например: определите область определения у=10/(|х|-1)
А в 8 классе при решении неравенств с одной переменной и их системы.
В учебнике Никольского 8 класс рассматривают функцию у=|х| и ее график у= х, если х≥0
-х, если х≤0
В курсе девятилетней школы рассматриваются простейшие уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. К ним относится уравнения вида |ах+в|=с.
При решении таких уравнений надо различить случаи:
1. с < 0,
2. с = 0,
3. с > 0.
Если с < 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.
Если с = 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно уравнению ах+в=0.
Если с > 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно ах+в= -с или ах+в=с.
Кроме указанного вида уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, учащиеся 8 класса встречается еще с уравнениями вида |ах+в|= ах+в или вида |ах+в|= -(ах+в). К таким уравнениям сводится, например, уравнения √ х²=х, √х²-4х+4=2-х.
Так как равенство |m|=m верно тогда и только тогда, когда m≥0,
а равенство |m|=-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0,
то уравнение |ах+в|= ах+в равносильно неравенству ах+в≥0,
а уравнение |ах+в| = -(ах+в) равносильно неравенству ах+в≤0.
Из неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, в курсе девятилетней школы рассматриваются только неравенства вида |ах+в|>в и |ах+в|<в.
В качестве дополнительных заданий даются более сложные задания, например, двойное неравенство к<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| > к
|ах+в|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.
Способы решений неравенств:
1. Решение связывается с понятием расстояния между точками координатной прямой.
2. Исходя из определения модуля.
3. Наглядно – графический прием.
4. В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке. Этот метод называется методом интервалов.
- 1. Пропедевтический курс геометрии в 5-6 классах.
- 2.Методика изучения геометрических построений в курсе геометрии.
- 3. Методика введения понятия вектора и изучения операций над векторами в курсе планиметрии.
- 4. Декартовы координаты. Координатный метод в курсе геометрии.
- 6. Понятие площади плоских фигур. Различные подходы к определению понятия площади.
- §4 Площади и объемы. П.18 Площадь
- Глава 7. Треугольники и четырехугольники.
- 7. Методика изучения геометрических построений в курсе стереометрии: изображение пространственных фигур, построение сечения многогранников плоскостью.
- Анализ учебника л.С. Атанасяна 10-11 кл. «Геометрия»
- Пересечение многогранников плоскостью.
- Примеры задач.
- 8. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.
- 9.Методические подходы к изучению объемов многогранников.
- 10. Методические подходы к изучению объемов тел вращения (на примере учебников геометрии)
- Наиболее эффективный план изучения отрицательных и положительных чисел в курсе VI класса:
- 12. Иррациональные уравнения и неравенства. Способы их решения.
- 13. Роль и значение функций в школьном курсе математики. Общая последовательность изучения функций.
- 14. Методика изучения линейных и квадратичных функций.
- 15 . Методика изучения квадратных уравнений и неравенств
- 16. Методика изучения уравнений и неравенств, содержащий знак абсолютной величины.
- 17. Виды и методы решения текстовых задач
- Глава III. Степень с натуральным показателем. (10)
- Глава V. Формулы сокращенного умножения. (5)
- 18. Методика изучения тригонометрических функций в школьном курсе алгебры и начал анализа
- 19. Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств.
- Глава 3. Тригонометрические функции.
- §4. Тригонометрические уравнения
- Глава 1. Тригонометрические функции.
- §3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
- Глава 6. Тригонометрические функции.
- §5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
- 20. Методика изучения показательной и логарифмической функции.
- 21. Методика изучения показательных уравнений и неравенств.
- Глава 3. Показательные функции 10(I вариант) 9(iIвариант)
- 22. Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.
- 23. Формирование понятия производной.
- 24. Формирование понятия определенного и неопределенного интеграла.
- Глава VI. Элементы математического анализа – 36 часов. Из них на изучение интегралов 5-6 часов.
- 25. Основные цели введения элементов комбинаторики и теории вероятностей. Общая последовательность изучение данного раздела.