8. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей.

Всю эту тему можно условно разделить на три части:

1. перпендикулярность прямых в пространстве;

2. перпендикулярность прямой и плоскости;

3. перпендикулярность плоскостей.

По каждой из этих частей проводится учет знаний учащихся: самостоятельные работы, контрольные работы, опрос учащихся на уроке и др.

В процессе изучения каждой из указанных частей следует исходить из общей схемы взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, с которой учащиеся познакомились в начале курса стереометрии при изучении параллельности в пространстве. Это дает возможность случай перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве вписать в общую схему взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, связать перпендикулярность в пространстве с аксиоматикой стереометрии, планомерно осуществлять повторение при изучении нового материала.

При ее изучении особое внимание следует уделить решению задач; в задачах надо использовать многогранники – призмы и пирамиды – с целью подготовки учащихся к изучению соответствующего раздела в курсе стереометрии XI класса. Особо выделить задачи, решаемые с помощью векторного аппарата, а также задачи, решаемые по готовому рисунку устно.

Основная цель: сообщить учащимся основные факты об одном из наиболее важных отношений между прямыми и плоскостями – перпендикулярности; ввести понятие углов между прямыми и плоскостями, между плоскостями.

Данная тема изучается в 10 классе.

Перпендикулярность прямых в пространстве.

Этот раздел рассматривается как повторение пройденного ранее. Повторение нужно вести по следующему плану:

- определение взаимно перпендикулярных прямых:

- пересекающиеся и скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые;

- иллюстрация их на моделях многогранников и в окружающей действительности.

При повторении важно подчеркнуть, что в пространстве взаимно перпендикулярные прямые могут не иметь общих точек.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Изучение целесообразно начать с повторения о взаимном расположении прямой и плоскости в пространстве.

Как нетрудно видеть, прямая и плоскость перпендикулярны тогда, когда они пересекаются.

Встает вопрос, в каком случае прямая, пересекающая плоскость будет ей перпендикулярна.

Как показывает опыт, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости. Это положение иллюстрируется на наглядном пособии (на модели прямой призмы, на рисунке, с помощью стереометрического ящика). После этого дается определение перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Важно заметить, что перпендикулярность прямой и плоскости сводится к перпендикулярности прямых в пространстве, что уже знакомо учащимся.

В учебной литературе по стереометрии приняты различные определения перпендикулярности прямой и плоскости:

«Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости». [Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Пробный учебник для 10-11 классов средней школы. – М.: Просвещение,1982.]

«Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости». [Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 7-10 классов средней школы.- М.: Просвещение,1987]

Для школьного изложения курса геометрии весьма целесообразно в определение перпендикулярности прямой и плоскости включить требование их пересечения. Если этого не включить в определение, то надо этот факт специально доказывать, что является нелегким для учащихся на этой поре обучения. Второе из приведенных определений включает в себя частный случай взаимного расположения данной прямой и прямых на плоскости, о котором говорится в определении, а именно случай их пересечения. Случай скрещивания этих прямых исключается. Оно, конечно, доступнее для учащихся, соответствует уровню развития их пространственного представления. В дальнейшем по мере развития учащихся это определение вполне можно расширить.

Надо сказать, что второе определение дает полный объем изучаемого понятия.

Если учащиеся достаточно подготовлены всей предыдущей работой, имеют хорошо развитые пространственные представления, то вполне можно вводить «первое» определение перпендикулярности прямой и плоскости, дополнив его требованием, что рассматриваемые прямая и плоскость пересекаются: «Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости».

Такое определение облегчит доказательство некоторых теорем курса, в частности доказательство теоремы о трех перпендикулярах.

Судить о перпендикулярности прямой и плоскости, пользуясь определением, невозможно, поскольку прямых, принадлежащих плоскости, бесчисленное множество. Оказывается, о перпендикулярности прямой и плоскости можно судить по перпендикулярности этой прямой двум прямым, лежащим в плоскости, которые должны проходить через точку пересечения прямой и плоскости (рис 1 а).

Если в определение перпендикулярности прямой и плоскости включены скрещивающиеся прямые. То в этом случае достаточно потребовать, чтобы две прямые, принадлежащие плоскости, пересекались (рис 1 б)

Учащимся важно показать на наглядном пособии, что прямая, перпендикулярная двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, может оказаться не перпендикулярной плоскости.

В итоге этой работы формируется теорема, которая получила название признака перпендикулярности прямой и плоскости (теорема о двух перпендикулярах), и ее доказательство проводится в классе учителем и сопровождается продуманными записями.

При изучении признака перпендикулярности прямой и плоскости надо позаботиться и о том, чтобы высвободить время для решения задач на доказательство и на вычисление, что во многом облегчает изучение темы «Многогранники» в дальнейшем.

Изучение взаимосвязи перпендикулярности прямой и плоскости с параллельностью прямых и плоскостей в пространстве следует связать с повторением темы «Параллельность в пространстве».

Перпендикулярность плоскостей.

Раздел о перпендикулярности плоскостей в пространстве целесообразно начать с повторения о взаимном расположении двух плоскостей. С помощью рисунков, опираясь на жизненные представления учащихся, выясняется, что две перпендикулярные плоскости являются пересекающимися. Это требование включается в определение перпендикулярных плоскостей.

По аналогии с перпендикулярностью прямых о перпендикулярности двух плоскостей судят по углу между ними. Поэтому встает проблема: что такое угол между плоскостями? В решении этой проблемы в имеющихся учебных пособиях для школы изложены различные точки зрения. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. сначала вводится понятие двугранного угла, а затем на этой основе дается определение перпендикулярных плоскостей. В учебном пособии А.В. Погорелова угол между плоскостями рассматривается как угол между прямыми, полученными при пересечении двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной линии их пересечения. Такой подход к изучению перпендикулярных плоскостей позволяет на этой стадии обучения избежать введения нового понятия двугранного угла, которое для учащихся является непростым.

В учебнике А.Д. Александрова и др. понятие перпендикулярности двух плоскостей вводится на основе понятия перпендикулярности прямой и плоскости: «Две плоскости называются перпендикулярными, если в каждой из них через любую точку проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости».

Такой подход к определению перпендикулярных плоскостей позволяет совершенно естественно перейти к пункту о перпендикулярности двух плоскостей, используя аналогию с перпендикулярностью прямой и плоскости, что является, несомненно, выигрышным при изучении этого вопроса. Однако при введении самого понятия перпендикулярных плоскостей в этом случае нежелательно использовать аналогию с введением понятий перпендикулярных прямых и перпендикулярности прямой и плоскости.

В процессе введения перпендикулярных плоскостей необходимо использовать наглядность из окружающей обстановки, модели многогранников (куба, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы), стереометрический ящик.

В учебнике А.Д. Александрова и др. сначала предварительно доказывается признак перпендикулярности плоскости, исходя из предположения, что такие плоскости существуют, а затем показывается конструктивно их существование.

Во всех остальных случаях существование перпендикулярных плоскостей может быть показано конструктивно сразу после введения определения этого понятия.

В процессе изучения раздела о перпендикулярных плоскостях с учащимися отрабатываются такие вопросы, как:

а) определение перпендикулярных плоскостей;

б) признак перпендикулярности плоскостей (его доказательство);

в) построение перпендикулярных плоскостей;

г) решение задач с использованием определения и признака перпендикулярности плоскостей.

Эти вопросы должны быть центральными в процессе контроля знаний учащихся: при устном опросе, в процессе решения задач в классе и дома, при составлении самостоятельных и контрольных работ для учащихся.

Были изучены 3 учебника:

1. Геометрия: учеб.для 10-11кл.сред.шк./Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-М.: Просвещение,2006.

В этом учебнике тема дана в виде главы. В нее входят 3 параграфа. В каждом параграфе даются под пункты. После каждого параграфа даются задачи.

1. Перпендикулярность прямой и плоскости. (стр.36)

15. Перпендикулярные прямые в пространстве.

16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Всего дано 22 задачи. Из них 14 задач являются обязательными, а 8 задач не являются обязательными на базовом уровне.

2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. (стр.40)

19. Расстояние от точки до плоскости.

20. Теорема о трех перпендикулярах.

21. Угол между прямой и плоскостью.

Всего дано 28 задачи. Из них 23 задач являются обязательными, а 5 задач не являются обязательными на базовом уровне.

3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

22. Двугранный угол.

23. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

24. Прямоугольный параллелепипед.

25*. Трехгранный угол.

26*. Многогранный угол.

Всего дано 30 задачи. Из них 21 задач являются обязательными, а 9 задач не являются обязательными на базовом уровне.

Пункт 25, 26 для углубленных классов.

После прохождения этой темы даются вопросы к главе 2. Всего 10 вопросов.

А потом дополнительные задачи. Всего 20 задач.

2. Геометрия: учеб.для 7-11кл. сред.шк./Погорелов.-М.:Просвещение,1992.

В этом учебнике тема дана в виде параграфа. В конце параграфа идут контрольные вопросы (всего 15 из них 8 на определение, 7 на доказательство). А после идут задачи (всего 62 задачи из них 7 задач повышенной трудности).

Параграф 17. Перпендикулярность прямых и плоскостей. (стр252)

143. Перпендикулярность прямых в пространстве.

144. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

145. Построение перпендикулярных прямой и плоскости.

146. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

147. Перпендикуляр и наклонная.

148. Теорема о трех перпендикулярах.

149. Признак перпендикулярности плоскостей.

150. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

151. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении.

3. Геометрия: 10-11кл.: учебник для общеобразовательных учебных заведений./Шарыгин и др.-М.: Дрофа,2002.

В этом учебнике дается в виде нескольких параграфов. После каждого даются задачи.

1.4. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Всего 15 задач. Из них 7 задач простые(базовые), 3 задачи важные, 1 задача полезная, 4 задач трудные.

1.5. Теорема о трех перпендикулярах.

Всего 16 задач. Из них 6 задач простые(базовые), 6 задачи важные, 1 задача полезная, 3 задачи трудные.

1.6. Угол между прямой и плоскостью.

Всего 9 задач.

0. Двугранный угол между плоскостями.

Всего 20 задач.