23. Застосування лишків до невласних інтегралів

Нехай аналітична в півплощині за винятком, можливо, скінченного числа особливих точок . Нехай ( ). Тоді для функція буде неперервною на .

Тоді якщо

Доведення Спочатку покажемо, що в цому випадку за цих умов (лема Жордана 2 – буде розглянута в наступній лекції).

Значить, існує

Теорема Якщо , то

Доведення

Розглянемо замкнену криву . Тоді . (*)

Лема Жордана 2

В умовах теореми .

Доведення

Зауваження

оскільки , а

Використаємо оцінку .

Оскільки ;

Отримали

Але , Лему Жордана доведено.

Продовження доведення теореми(*) Таким чином, отримали

, і т.д.

, що й треба було довести.

1) Якщо парна

Висновок: для парної

2) Якщо непарна

Висновок: для непарної