29. Лема Рімана та наслідок з неї.

Якщо функція інтегрована на будь-якому інтервалі і абсолютно-інтегрована (можливо, в невласному сенсі) на всьому інтервалі , то

при , .

Доведення

1)Якщо , при .

2) В загальному випадку

такий що

Фіксуємо , тоді інтегрована на - послідовність простих функцій, що рівномірно збігаються до на

послідовність і (оберемо таку послідовність функцій).

(множення на обмежену функцію не впливає на рівномірну збіжність)

Але

Розбиваємо відрізок на m частин, на кожному з яких функція приймає значення константи значення простої функції при .

В силу довільності при .

Зауваження 1

Якщо то

Отже при , з аналогічних міркувань отримуємо при .

Зауваження 2

Для справедлива нерівність Бесселя. З нерівності Бесселя випливає що

та при .

Наслідок з леми Рімана

Оскільки

+

Якщо - абсолютно інтегрована, то теж абсолютно інтегрована на проміжку

Збіжність ряду Фур’є в точці х повністю визначається поведінкою функції f в як завгодно малому околі цієї точки.

Теорема (принцип локалізації)

Нехай , - інтегровані дійснозначні або комплекснозначні функції , визначені на інтервалі і абсолютно інтегровані (можливо, в невласному сенсі) на інтервалі . Тоді якщо і співпадають в як завгодно малому околі точки х, то їх ряди Фур’є збігаються і розбігаються в цій точці одночасно,

,

і якщо збігаються, то їх суми співпадають.