Нерівність Бесселя

Оскільки , то .

Ця нерівність,записана через коефіцієнти Фур’є, має назву нерівності Бесселя.

З теореми Піфагора, - це сума ортогональних векторів,

(н-ть Бесселя).

Для ортонормованої системи ця нерівність має вигляд

.

Екстремальні властивості коефіцієнтів Фур’є Якщо ряд Фур’є збігається до :

, то цей вектор дає найкраще наближення вектора серед усіх векторів , що мають вигляд (тобто )

Доведення

Розглянемо

.

(  . За теоремою Піфагора маємо, що це сума квадратів катетів).

Повнота ортогональної системи

Система векторів нормованого простору називається повною по відношенню до множини (система є повна на ), якщо

Справедлива Теорема (умова повноти ортогональної системи)

Нехай - лінійний простір із скалярним добутком і - зліченна або скінченна система ортогональних (попарно ортогональних ) ненульових векторів .

Тоді наступні умови еквівалентні :

1)Система повна в

2) Для має місце розклад в ряд Фур’є

3. Для кожного має місце - рівність Парсеваля.

1) 2) Це одразу випливає з екстремальних властивостей коефіцієнтів Фур’є .

.

Але з 1) система повна

2) 3) якщо виконується 2) то за теоремою Піфагора маємо 3)

1) 3) Одразу випливає з леми про перпендикулярність ( )

. причому .

Для ортогональної системи

система - повна.

можна розкласти в ряд Фур’є, якщо система повна.