19. Обчислення лишків

Твердження 1

Якщо - ізольована особлива точка - аналітична. За теоремою Лорана

При отримуємо що й треба було довести.

Отже, якщо - проста точка функції , то

Лишки в полюсі

Нехай в точці має полюс - го порядку.

- ряд збігається рівномірно в , - степеневий ряд - аналітична.

- неперервна в (ця функція і всі її похідні аналітичні в даній точці, неперервні). . Таким чином, ми отримали

Наслідок

Якщо точка - простий полюс для , то

Окремий випадок

Нехай

Тоді при точка - правильна для , і Якщо , тоді - простий полюс для , і

Приклади

1) - полюс 3-го порядку.

.

2) ;

- особливі точки.

Точки - прості полюси

Для суттєво особливої точки тільки лишок .