14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.

Теорема 1

Якщо f(z) аналятична і однозначна при , то буде правильною для тоді і тільки тоді, коли обмежена в деякому околі точки .

Доведення

1) - правильна для будь-яка функція, що має границю, обмежена, тому обмежена в деякому околі точки .

2) Нехай існує такий окіл , що . Тоді з формули (2) маємо

Ряд Лорана має вигляд

, головної частини немає.

Поклавши отримаємо аналітичну в околі функцію - це правильна точка для , що й треба було довести.

Наслідок

Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.

необмежена – має місце два випадки:

1) точка називається полюсом функції .

2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.

Приклади

1) - аналітична скрізь, крім аналітична в і в , причому полюси .

2) - аналітична скрізь, крім . Покажемо, що не існує:

по вісі ОХ ( ) маємо ; ( ) . За означенням границі функції (за Гейне) границя не існує - суттєво особлива точка.