11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.

Розглянемо ряд (1) Заміна - степеневий ряд, збігається абсолютно і рівномірно всередині кола . Ряд (1) збігається абсолютно і рівномірно при

Область збіжності ряду (1) – це область зовні кола .

Можливі випадки :

1) Якщо , то ряд (1) розбігається в усіх скінченних точках.

2) Якщо , то ряд збігається абсолютно і рівномірно зовні кола та розбігається всередині цього кола.

3) Якщо , то ряд збігається скрізь, крім самої точки .

Отже, в області збіжності ряд (1) визначає аналітичну функцію

При можемо вважати, що аналітична в точці .

Означення

Рядом Лорана в точці називається ряд виду

Цей ряд розуміють як суму двох рядів : і . Він називається збіжним тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ці ряди.

Перший ряд збігається при , другий – при . Таким чином, ряд Лорана збігається тоді і тільки тоді, коли і область збіжності його – це кільце . В цьому випадку обидва ряди збігаються рівномірно і абсолютно, тоді їх сума – аналітична функція , (2)

( ).

Визначимо зв’язок коефіцієнтів ряду (2) з його сумою.

Нехай . На колі ряд (2) збігається рівномірно, і він також буде збігатись рівномірно, якщо його помножити на обмежену функцію

- рівномірно збігається в точках кола можна інтегрувати почленно на : (з попередніх лекцій відомо, що ).

В правій частині всі інтеграли рівні 0, крім інтеграла для (в цьому випадку ).

Отже, .

Наслідок

Якщо суми двох рядів Лорана і , що збігаються в кільцях відповідно, співпадають на колі (спільне для ), то , тобто ряди тотожні.

Висновок

Розклад в рад Лорана має властивість єдиності.