30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
Означення
задовольняє в точці умові Діні , якщо виконуються такі умови:
В точці х існують границі справа і зліва
2) таке , що - збігається абсолютно, збігається для всіх (інтеграл може бути невласним).
Приклади функцій для яких виконується умова Діні.
1)Умова Діні виконується для всіх функцій, для яких виконується умова Гьольдера.
Умова Діні виконується , якщо , M=const.
Наприклад, умова Гьольдера виконується при для будь-якої функції, що має кусково-неперервну похідну. На будь-якому шматку неперервності маємо .
Теорема (Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці)
Нехай . -перідична функція, абсолютно інтегрована на періоді.
Якщо задовольняє умовам Діні то її ряд Фур’є збігається в т. Х , при чому ми можемо сказати до якого числа він збігається .
Доведення
Оскільки (з властивостей ядра Діріхле)
тоді
, за Лемою Рімана.
При .
Функція абсолютно інтегрована на інтервалі (наслідок з умови Діні) з леми Рімана теж випливає, що
отже . Теорему доведено.
- 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- 19. Обчислення лишків
- 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 24. Тригонометричні ряди Фур’є
- 25. Абстрактні ряди Фур’є
- 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- Нерівність Бесселя
- 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- 37. Властивоcті перетворень Лапласа
- 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- 39. Згортка функції. Зображення згортки.
- 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- 41. Лема Жордана. Формула обернення.