13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.

Нехай f(z) – однозначна, аналітична в деякому околі (можливо, проколотому) точки , .

Можливі випадки:

1) Існує скінченна границя Тоді, поклавши , отримуємо аналітичну функцію (в точці також). Тоді точка називається правильною для f(z) .

2)

або

3) не існує

В цих випадках називається ізольованою особливою точкою функції f(z) .

Розглянемо ряд Лорана в околі точки :

(1)

(Частина ряду Лорана з від’ємними степенями називається головною частиною, а чистина з невід’ємними степенями називається правильною частиною).

(2)

Якщо f(z) аналятична і однозначна при , то буде правильною для тоді і тільки тоді, коли обмежена в деякому околі точки .

Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.

необмежена – має місце два випадки:

1) точка називається полюсом функції .

2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.