25. Абстрактні ряди Фур’є
Є лінійний простір із скалярним добутком
Є поняття норми Відстань Кут
Ортогональність
Означення
1) Система векторів називається ортогональною, якщо
2) Система векторів називається ортонормованою, якщо
3) Система векторів називається лінійно-незалежною, якщо лінійно-незалежна будь-яка скінченна підмножина цієї системи.
Розклад вектора по ортогональній системі векторів називається рядом Фур’є цього вектора.
Приклад
Нехай - множина всіх - періодичних функцій, квадрат яких інтегрований. . - лінійний простір. Скалярний добуток на цій множині .
Для комплекснозначних функцій . Тоді з леми випливає, що система функцій ортогональна відносно введеного скалярного добутку, але не ортонормована.
- ортонормована система. Для - теж ортогональна система на .
- ортонормована
Властивості скалярного добутку
1) Неперервність
Лема
Нехай є скалярний добуток тоді мають місце наступні твердження:
1. Функція - неперервна функція своїх аргументів.
2. Якщо , то .
3. Якщо система векторів ортонормована, і
то .
Доведення
За визначенням, .
1. Нехай . Треба довести, що
Розглянемо
Нерівність Коші – Буняковського
2.
3.
- 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
- 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
- 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
- 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
- 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
- 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
- 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
- 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
- 19. Обчислення лишків
- 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
- 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
- 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
- 24. Тригонометричні ряди Фур’є
- 25. Абстрактні ряди Фур’є
- 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
- 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
- Нерівність Бесселя
- 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
- 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
- 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
- 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
- 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
- 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
- 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
- 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
- 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
- 37. Властивоcті перетворень Лапласа
- 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
- 39. Згортка функції. Зображення згортки.
- 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
- 41. Лема Жордана. Формула обернення.