27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя

Нехай - ортонормована система векторів, а - ортогональна система векторів.

З 2) пункту леми

Якщо

Числа називаються коефіцієнтами Фур’є вектора в ортогональній системі (в ортонормованій системі це будуть ).

Означення

Якщо Х - лінійний простір із скалярним добутком, а - ортонормована система ненульових векторів, то кожному вектору в Х відповідає

. Цей ряд і є рядом Фур’є вектора по степеням .

Властивості коефіцієнтів і рядів Фур’є

1. Нехай - скінченна або зліченна система векторів, і нехай вектору відповідає його ряд Фур’є = (ряд збігається до деякого вектора ) . Тоді

ортогональний всій лінійній оболонці системи :   , а також її замиканню.

Доведення

Досить показати, що  .

Наслідок

Оскільки і  , то за теоремою Піфагора

2. Содержание

   • 11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.
   • 12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана
   • 13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.
   • 14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.
   • 15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.
   • 16. Зв’язок характеру особливої ізольованої точки з виглядом розкладу в ряд Лорана в околі цієї точки
   • 17. Характер нескінченно віддаленої особливої точки
   • 18. Лишки. Їх зв’язок з інтегралом по замкненій кривій
   • 19. Обчислення лишків
   • 20. Лишки в нескінченно віддаленій точці
   • 21. Застосування лишків для обчислення визначених інтегралів
   • 22. Застосування лишків до невласних інтегралів
   • 23. Застосування лишків до невласних інтегралів
   • 24. Тригонометричні ряди Фур’є
   • 25. Абстрактні ряди Фур’є
   • 26. Нерівність Коші-Буняковського та теорема Піфагора.
   • 27. Основні властивості коефіцієнтів Фур’є. Нерівність Бесселя
   • Нерівність Бесселя
   • 28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є
   • 29. Лема Рімана та наслідок з неї.
   • 30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.
   • 31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.
   • 32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції
   • 33. Теорема про повноту тригонометричної системи
   • 34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.
   • 35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є
   • 36. Перетворення Лапласа. Аналітичність перетворення Лапласа.
   • 37. Властивоcті перетворень Лапласа
   • 38. Диференціювання та інтегрування оригінала та зображення
   • 39. Згортка функції. Зображення згортки.
   • 40. Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Меліна
   • 41. Лема Жордана. Формула обернення.