31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.

Розглянемо послідовність функцій , що є середнім арифметичним часткових сум ряду Фур’є:

. Тоді

• ядро Фейєра: - середнє арифметичне ядер Діріхле.

Властивості

1)

2)

3)

Якщо позначити через

Тоді справедливо

1)

2) .

Доведення

1) Очевидно

2) Використаємо лему Рімана. Для ядра Фейєра

Теорема Фейєра

Нехай - - періодична абсолютно інтегрована на інтервалі функція.

Тоді:

1) Якщо на деякій множині Е - рівномірно- неперервна, то на Е

2) Якщо - неперервна то на R при

3)Якщо в точці х то при .

Доведення

Твердження 2) і 3) - наслідки 1), тому що функція, неперервна на будь-якому вілрізку, рівномірно неперервна на ньому. Тому досить довести твердження 1)

1) - абсолютно інтегрована , рівномірно неперервна на Е вона обмежена

- рівноміоно неперервна

Позначимо - окіл точки.

Тоді можна записати послідовність

Доведено.

Наслідок 1

(теорема Вейєрштраса про апроксимацію тригонометричними поліномами)

Якщо неперервна на цьому відрізку і , то ця функція може бути як завгодно точно рівномірно на апроксимована тригонометричними поліномами.

Наслідок 2

Якщо функція неперервна в точці х , то її ряд Фур’є або розходиться або збігається в цій точці до .

Доведення

Якщо розбігається – доводити нічого.

Якщо збігається, існує , то послідовність середніх значень цих величин теж збігається до тієї ж самої величини. Але з т.неперервності відомо, що послідовність сум Фейєра збігається до значення функції.

З теореми Фейєра в точці неперервності , що і треба було довести.