35. Достатні умови представлення функції в інтеграл Фур’є

Теорема (про збіжність інтеграла Фур’є в точці)

Нехай - абсолютно інтегрована на R, шматково-неперервна на скінченому інтервалі . Якщо вона задовольняє в т. умовам Діні , то її інтеграл Фур’є збігається в цій точці до .

Доведення

неперервна, вона інтегрована на скінченому відрізку ,

бо

стоїть в умові Діні, інтеграл прямує до 0.

, оскільки

, - абсолютно інтегровані . - теж абсолютно інтегровані. , =const.

Так як - залишок від інтегралу Діріхле . Інтеграл збігається, якщо залишок прямує до 0 (з означення збіжності інтеграла) . Теорему доведено.

Умови Діні виконуються для тих функцій, які задовольняють умовам Гьольдера: . Ці умови виконуються для функцій, які диференційовані скрізь і мають скінченні однобічні похідні.

(Функція не обов’язково є неперервно-диференційованою, але похідні справа і зліва існують).

Наслідок

Нехай - неперервно- і абсолютно інтегрована .Якщо в кожній точці функція f диференційована або має скінченні однобічні похідні, або задовольняє умові Гьольдера то вона може бути представлена своїм інтегралом Фурьє. .