Подібність прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, то вони подібні. Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні. Теорема 3. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету й гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні. Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутні трикутники, подібні даному. На рисунку . Із подібності прямокутних трикутників випливає таке. 1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проек­цією цього катета на гіпотенузу: ; , або ; . 2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: , або . 3. Властивість бісектриси трикутника: бісектриса трикутника (довільного) поділяє протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сто­ронам. На рисунку у BP — бісектриса . , або .

Подібність рівносторонніх і рівнобедрених трикутників

1. Усі рівносторонні трикутники подібні. 2. Якщо рівнобедрені трикутники мають рівні кути між бічними сторонами, то вони подібні. 3. Якщо рівнобедрені трикутники мають пропорційні основу й бічну сторону, то вони подібні.

Кути, пов’язані з колом

Кути, вписані в коло

Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається плоским кутом. Плоскі кути із спільними сторонами називаються доповняльними. Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами. Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у його центрі ­кола. Частина кола, розміщена всередині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає цьому центральному куту. Гра­дусною міроюдуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута. Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло. Точки, у яких сторони вписаного кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину кута, називається центральним кутом, який відповідає даному вписаному куту. На рисунку: — вписаний; — спирається на хорду BC; — спирається на дугу BC; — центральний кут, відповідний вписаному куту AВC. Теорема 1. Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута. Теорема 2. Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні (рисунок нижче зліва). Вписані кути, які спираються на одну й ту саму хорду та вершини яких лежать по різні боки від хорди, у сумі дорівнюють (рисунок справа). Теорема 3. Вписані кути, що спираються на діаметр, прямі. І навпаки, якщо вписаний кут прямий, він спирається на діаметр (див. рисунок нижче). Теорема 4. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпо­тенузи. І навпаки, якщо центр описаного навколо трикутника кола — середина сторони, то цей трикутник — прямокутний, а діаметр кола — його гіпотенуза. Теорема 5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи й розбиває трикутник на два рівнобедрені трикутники (див. рисунок). І навпаки, якщо медіана трикутника дорівнює половині його сторони, то цей трикутник — прямокутний, а медіану проведено з вершини прямого ­кута. На рисунках наведені деякі види кутів, пов’язаних з колом. Розглянемо, як знаходити їх градусні ­міри.