22. Застосування лишків до невласних інтегралів

Лема Жордана : Нехай - аналітична в верхній півплощині ( ) за винятком скінченного числа особливих точок :

Доведення

Нехай . Тоді при аналітична на і

Наслідок 1 Якщо така, що задовольняє умовам леми, то

Нехай При отримуємо

що й треба було довести.

Наслідок 2

Розглянемо

і не має дійсних коренів. Тоді аналітична у верхній півплощині за винятком, можливо, скінченного числа полюсів (в правильних точках , тому вони нас не цікавлять). - обмежена при

- виконуються умови леми Жордана і наслідка.

Наслідок 3

- всі полюси верхньої півплощини.

3) Послаблення вимог до підінтегральної функції

Нехай аналітична в півплощині за винятком, можливо, скінченного числа особливих точок . Нехай ( ). Тоді для функція буде неперервною на .

Тоді якщо

Доведення

Спочатку покажемо, що в цому випадку за цих умов (лема Жордана 2 – буде розглянута в наступній лекції).

Значить, існує

Теорема Якщо , то