§10. Сложное отношение четырех точек прямой

Пусть на проективной прямой даны точки A, B, C, D. Поставим задачу сопоставления действительного числа упорядоченной четверке проективных точек. Если все четыре точки совпадают, то трудно ожидать решения проблемы, т.к. на проективной прямой все точки равноправны. Допустим AD, BC, AB. Если A=C, то будем считать, что сложное отношение (AB, CD) = 0. Если AC, то точки A, B, C образуют проективный репер, в котором точка D(x¹, x²) имеет определенные координаты. В этом случае положим (AB, CD)=. Часто сложное отношение называют двойным или ангармоническим.

Легко понять, что если A, B, C – попарно различные точки, а t – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка D такая, что (AB, CD) = t. Если на прямой даны точки D и Е, так что (AB, CD) = (AB, CE), то D = E.

Следующая теорема показывает, как вычислять сложное отношение четырех точек по их координатам в проективном репере.

Теорема. Если точки A, B, C и D, лежащие на некоторой прямой, имеют в некотором проективном репере координаты A(a¹, a²), B(b¹, b²), C(c¹, c²), D(d¹, d²), причем AD, BC, то

.

Приведем простейшие свойства сложного отношения четырех точек прямой.

1. (AB, CD) = (CD, AB)

2. (AB, CD) = = , если (AB, DC)0

3. (AB, CD) = (BA, DC)

4. (AB, CC) = 1; (AB, CB) = 0

5. (AB, CD) + (AC, BD) = 1

Задача 25. Пусть A, B, C, D – четыре попарно различные точки на проективной прямой, сложное отношение которых (AB, CD) = t, где t – заданное число. Записать значения сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек A, B, C, D, переставляя их всеми возможными способами.

Задача 26. Доказать, что для пяти попарно различных точек A, B, C, D, E на проективной прямой имеет место равенство

(AB, CE) = (AB, CD)(AB, DE).