§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
В геометрии принято определение, согласно которому термин «преобразование» обозначает «биекция» или «взаимно однозначное отображение» некоторого множества на себя.
Определение. Преобразование проективной прямой называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.
Теорема. Проективное преобразование прямой d переводит проективный репер на d в проективный репер , и выполняется правило равенства координат, т.е. точка M d имеет в репере те же самые координаты, что и ее образ М в репере : M(x1, x2) в и M (x1, x2) в репере .
Замечание. Координаты точки в проективном пространстве задаются с точностью до ненулевого множителя.
Доказательство. Пусть на прямой d заданы проективное преобразование f: dd и произвольный репер =(A, B, E).
Пусть A= f(А), В= f(B), Е = f(Е)). Поскольку f – биекция, то никакие две из трех точек A, В, Е не совпадают, точки А, В, Е занимают общее положение и образуют репер =(A, B, E). Для произвольной точки М на d, М≠А определяются координаты (x1, x2) в репере , причем можно вычислить сложное отношение (А В, Е М) = . Пусть М = f(М), тогда (АВ, ЕМ) = (АВ, ЕМ) по определению проективного преобразования, и (АВ, ЕМ) = (АВ, ЕМ) = , и точка М имеет в репере координаты (x1, x2).
Следствие 1. Если и - произвольные реперы на проективной прямой d, то существует единственное проективное преобразование на d, которое репер переводит в репер .
Следствие 2. Если проективное преобразование прямой имеет три попарно различные неподвижные (инвариантные) точки, то оно является тождественным преобразованием.
Задача 39. При проективном преобразовании f расширенной прямой заданный репер = (A, B, E) переходит в заданный репер = (A, B, E). Построить образ произвольной точки М прямой .
Задача 40. Доказать, что если в проективном преобразовании f расширенной прямой несобственная точка X∞ инвариантна, то сужение отображения f на аффинную прямую d = \{X∞}. f1d есть аффинное преобразование
Определение. Нетождественное проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным преобразованием.
Теорема. Если в данном проективном преобразовании f прямой какая-то точка А переходит в точку В, отличную от точки А, а точка В переходит в точку А, то f – инволюция.
Доказательство. Пусть М – произвольная точка прямой, М = f(М). Требуется доказать, что М = f(М). Обозначаем М = f(М). При проективном преобразовании сохраняется сложное отношение четырех точек, следовательно, (АВ, М M) = (ВА, МM). Таким образом, по свойствам сложного отношения четырех точек прямой М = M.
Задача 41. Доказать, что инволюция прямой либо не имеет ни одной инвариантной точки, либо имеет две инвариантные точки.
- Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- §2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- §3. Модели проективного пространства
- §4. Понятие проективных координат
- §5. Проективные координаты на плоскости
- §6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- §7. Преобразование проективных координат
- §8. Принцип двойственности
- Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- §10. Сложное отношение четырех точек прямой
- §11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- §12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- §13. Проективные отображения прямых и пучков
- §14. Теорема Паппа
- §15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- §16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- §18. Проективная классификация линий второго порядка.
- §19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- §20. Полюс, поляра, поляритет.
- §21. Теорема Штейнера.
- §22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- §23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- Задачи с решениями по всему курсу.
- М етодические указания
- Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- 1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- 2. Построение проективного пространства
- 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- 5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- 6. Проективные преобразования проективных пространств
- 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Практические задания с решениями
- Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- Тема 2. Построение проективного пространства
- Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- Список рекомендуемой литературы Основной