Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.

Решение.

1) Рассмотрим канонические уравнения эллипса и гиперболы

Запишем их в однородных координатах

Чтобы найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга, перепишем уравнения в более удобном виде

3. Рассмотрим проективное преобразование

,

т.е. .

Оно переводит первую кривую в кривую с уравнением

.

Штрихи над координатами означают, что полученная кривая является образом первой кривой. После того как образ получен, штрихи можно не писать. Получим уравнение гиперболы в однородных координатах.

Итак, мы нашли проективное преобразование, переводящее эллипс в гиперболу на пополненной плоскости. Напомним, что это невозможно сделать аффинным преобразованием аффинной плоскости. Это означает, что данные кривые принадлежат одному классу проективно эквивалентных кривых.

4. Содержание

   • Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
   • §2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
   • §3. Модели проективного пространства
   • §4. Понятие проективных координат
   • §5. Проективные координаты на плоскости
   • §6. Уравнение прямой на проективной плоскости
   • §7. Преобразование проективных координат
   • §8. Принцип двойственности
   • Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
   • §10. Сложное отношение четырех точек прямой
   • §11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
   • §12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
   • §13. Проективные отображения прямых и пучков
   • §14. Теорема Паппа
   • §15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
   • §16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
   • Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
   • §18. Проективная классификация линий второго порядка.
   • §19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
   • §20. Полюс, поляра, поляритет.
   • §21. Теорема Штейнера.
   • §22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
   • §23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
   • Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
   • Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
   • Задачи с решениями по всему курсу.
   • М етодические указания
   • Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
   • 1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
   • 2. Построение проективного пространства
   • 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
   • 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
   • 5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
   • 6. Проективные преобразования проективных пространств
   • 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
   • Практические задания с решениями
   • Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
   • Тема 2. Построение проективного пространства
   • Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
   • Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
   • Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
   • На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
   • На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
   • Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
   • Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
   • Найти однородные координаты точки пересечения прямых
   • Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
   • Найти однородные координаты точки пересечения прямой
   • Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
   • На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
   • Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
   • Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
   • Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
   • Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
   • Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
   • Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
   • Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
   • Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
   • Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
   • Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
   • Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
   • Список рекомендуемой литературы Основной