Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия

Содержание

• Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
• §2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
• §3. Модели проективного пространства
• §4. Понятие проективных координат
• §5. Проективные координаты на плоскости
• §6. Уравнение прямой на проективной плоскости
• §7. Преобразование проективных координат
• §8. Принцип двойственности
• Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
• §10. Сложное отношение четырех точек прямой
• §11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
• §12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
• §13. Проективные отображения прямых и пучков
• §14. Теорема Паппа
• §15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
• §16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
• Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
• §18. Проективная классификация линий второго порядка.
• §19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
• §20. Полюс, поляра, поляритет.
• §21. Теорема Штейнера.
• §22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
• §23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
• Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
• Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
• Задачи с решениями по всему курсу.
• М етодические указания
• Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
• 1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
• 2. Построение проективного пространства
• 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
• 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
• 5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
• 6. Проективные преобразования проективных пространств
• 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
• Практические задания с решениями
• Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
• Тема 2. Построение проективного пространства
• Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
• Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
• Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
• На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
• На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
• Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
• Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
• Найти однородные координаты точки пересечения прямых
• Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
• Найти однородные координаты точки пересечения прямой
• Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
• На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
• Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
• Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
• Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
• Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
• Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
• Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
• Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
• Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
• Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
• Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
• Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
• Список рекомендуемой литературы Основной