§14. Теорема Паппа

Рассмотрим одну из замечательных конфигураций действительной проективной геометрии. (Автором первой фундаментальной теоремы проективной геометрии является Папп Александрийский. Теорема Паппа содержится в «Математическом собрании», начало 1V века нашей эры)

Теорема. Пусть даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой d и три точки A, B, C, лежащие на прямой d, причем dd. Тогда три точки A=(BC) (BC), B=(AC) (CA), C=(AB) (AB) принадлежат одной прямой d.

Д оказательство. Рассмотрим отображение f пучка прямых с центром в точке A на пучок прямых с центром в точке C, при котором прямые (AC), (AA), (AB) переходят, соответственно, в прямые (CA), (CA), (CB). Поскольку прямая, соединяющая центры пучков, переходит в себя, то f – перспективное отображение. Оно индуцирует перспективное отображение :(BA)(BC) с центром B, при этом (С)=A. Значит, точка B принадлежит прямой (AC).

Задача 37. Посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 рядов по три дерева в каждом.

Задача 38. Сформулируйте предложение, двойственное теореме Паппа. Сделать чертеж.