§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости

Рассмотрим две прямые d и d проективной плоскости и точку О, не принадлежащую этим прямым. Точку О примем за центр проекции. Для любой точки М на d поставим в соответствие точку M на d: M = d(OM). Точка M называется проекцией точки М из центра О, а само отображение называется проекцией.

Теорема. Проекция сохраняет сложное отношение четырех точек прямой.

( MN, KL) = (MN,KL)

Определение. Если m, n, k, l – четыре прямые на проективной плоскости, проходящие через точку О, то их сложным отношением называется сложное отношение четырех точек, высекаемых на некоторой прямой d, не проходящей через точку О.

(mn, kl) = (MN, KL)

Замечание. Определение корректно, поскольку сложное отношение четырех прямых не зависит от выбора прямой d.

Определение. Пара прямых a и b гармонически разделяет пару прямых c и d, если (ab, cd) = –1.

Задача 27. Прямые a и b евклидовой плоскости пересекаются в точке О, прямые c и d содержат биссектрисы углов, образованных прямыми a и b. Доказать, что (ab, cd) = –1.

Задача 28. Доказать, что прямые, содержащие диагонали параллелограмма, гармонически разделяют прямые, проходящие через центр параллелограмма параллельно его сторонам.

Задача 28. Доказать, что прямая (CM), содержащая медиану [CM] треугольника АВС, и прямая (CX), параллельная стороне [AB], гармонически разделяют прямые (CA) и (CB), содержащие две другие стороны треугольника АВС.