logo
ПОСОБИЕ ПО ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ, МАРТ 13 2010

Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.

Решение

Найдем пересечение гиперболы с бесконечно удаленной прямой. Иными словами, найдем множество бесконечно удаленных точек гиперболы.

Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение . Следовательно, координаты бесконечно удаленных точек гиперболы удовлетворяют уравнению . Решим это уравнение:

Из последних равенств получаем

Так как мы получили два решения, то гипербола имеет две бесконечно удаленных точки с координатами

Мы использовали тот факт, что числа не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, и можно делить координаты на В противном случае бесконечно удаленные точки гиперболы имеют координаты , что невозможно.

Напомним, что асимптоты гиперболы имеют уравнения Или в общем виде Бесконечно удаленные точки асимптот имеют координаты

Итак, на пополненной плоскости гипербола пересекается с асимптотами в общих бесконечно удаленных точках.